PG(3,2)

PG(3,2) — це найменший тривимірний проєктивний простір, який можна розглядати як розширення площини Фано. Простір має 15 точок, 35 прямих та 15 площин. Ще він має такі властивості:

• Кожна точка належить 7 прямим та 7 площинам
• Кожна пряма міститься у 3 площинах та містить 3 точки
• Кожна площина містить 7 точок та 7 прямих
• Кожна площина ізоморфна площині Фано
• Будь-яка пара різних площин перетинаються по прямій
• Пряма і площина, що не містить прямої, мають рівно одну спільну точку

PG(3,2), намальований у вигляді тетраедра (див. текст)

Побудова з K₆

Візьмемо повний граф K₆. Він має 15 ребер, 15 досконалих парувань та 20 трикутників. Створимо точку для кожного з 15 ребер та ребро для кожного з 20 трикутників та 15 парувань. Структура інцидентності між кожним трикутником або паруванням (прямою) з ребрами (точками), що їх утворюють, породжує PG(3,2).

Побудова з площин Фано

Візьмемо площину Фано і використаємо всі 5040 перестановок її 7 точок. Відкинемо дублювання площин, щоб отримати набір із 30 різних площин Фано. Виберемо будь-які 30 і візьмемо інші 14, які мають рівно одну спільну пряму з першим набором, не 0 і не 3. Структура інцидентності між 1+14 = 15 площинами і 35 трикутниками, які попарно перекривають, породжує PG(3,2).

Малюнок у вигляді тетраедра

PG(3,2) можна подати як тетраедр. 15 точок відповідають 4 вершинам + 6 серединам ребер + 4 центрам граней + 1 центру тіла. 35 прямих відповідають 6 ребрам + 12 медіанам граней + 4 вписаним колам граней + 4 висотам на грань із протилежної вершини + 3 прямим, що з'єднують середні точки протилежних ребер + 6 еліпсів, що з'єднують середину кожного ребра з його центрами несусідніх граней. 15 площин складаються з 4 граней + 6 «середніх» площин, що з'єднують кожне ребро з серединою протилежного ребра + 4 «конуси», що з'єднують кожну вершину зі вписаним колом протилежної грані + одна «сфера» з 6 центрами ребер і центром тіла.

Квадратне подання

Квадратна модель 3-вимірного простору Фано

35 прямих можна подати як бієкцію з 35 способами розбиття 4x4 ґратки на 4 ділянки по 4 комірки в кожній, якщо ґратка представляє афінний простір, а ділянки є 4 паралельними площинами.

Блок-схема 3-(16,4,1) має 140 блоків розміру 4 на 16 точках, так що кожна трійка точок покрита рівно один раз. Виберемо будь-яку окрему точку, візьмемо 35 блоків, що містять цю точку та видалимо точку. 35 блоків розміру 3, що залишилися, утворюють PG(3,2) на 15 точках, що залишилися.

Задача Кіркмана про школярок

PG(3,2) виникає у деяких розв'язках задачі Кіркмана про школярок. Два неізоморфні розв'язки цієї задачі можна вкласти як структури у 3-вимірний простір Фано. Зокрема, розшарування PG(3,2) є розкладом точок на прямі, що не перетинаються, і відповідає розподілу дівчаток (точок) на неперетинні рядки (прямі) для одного дня завдання Кіркмана про школярок. Є 56 різних розшарувань по 5 прямих у кожному. Пако́вання^{[уточнити]} PG(3,2) — це розбиття 35 прямих на 7 шарів, що не перетинаються, по 5 прямих у кожному шарі і воно відповідає розв'язку для всіх семи днів. Є 240 паковань PG(3,2), які розпадаються на два класи суміжності по 120 паковань під дією PGL(4,2) (групи колінеацій простору). Колінеації переставляють ці два класи.

Мереживний малюнок

Мереживний малюнок. Його використовують також для подання регулярного графа srg(15,6,1,3), намальованого з накладенням ребер.

Мереживний малюнок, який часто використовують для подання узагальненого чотирикутника GQ(2,2), використовують також і для подання PG(3,2).

Автоморфізми

Група автоморфізмів простору PG(3,2) відображає прямі в прямі. Число автоморфізмів визначається кількістю способів вибору 4 некопланарних точок. Це приводить до 15⋅14⋅12⋅8 = 20160 = 8!/2. Виявляється, що група автоморфізмів PG(3,2) ізоморфна знакозмінній групі на 8 елементах A₈.

Координати

Відомо, що PG(n,2) можна задати у вигляді координат (GF(2))^{n + 1}, тобто бітовим рядком довжини n + 1. PG(3,2) можна подати у вигляді координат з 4-бітовими рядками. Звичайним відображенням для вершин є відображення, в якому рядки мають ваги Геммінга 1, такі як 0001, 0010 і так далі, інші ж точки отримуємо операцією XOR. Тоді середини ребер мають вагу Геммінга 2, центри граней мають вагу Геммінга 3, а центр тіла має вагу Геммінга 4.

Крім того, прямим, що з'єднують точки $(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$ і $(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})$, можна природно призначити плюккерові координати $(p_{12},p_{13},p_{14},p_{23},p_{24},p_{34})$, де $p_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}$, а координати прямої задовольняють умові $p_{12}p_{34}+p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0$. Кожна пряма у проєктивному 3-вимірному просторі має шість координат і її можна подати як точку в проєктивному 5-вимірному просторі. Точки лежать на поверхні $p_{12}p_{34}+p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0$.

Література

• Sylvester J. J. Note on Determinants and Duadic Synthemes. — 1879.
• Bruce E. Meserve. Fundamental Concepts of Geometry. — Dover, 1983. — ISBN 0-486-63415-9. Перше видання 1955
• Hirschfeld J. W. P. Finite Projective Spaces of Three Dimensions. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 0-19-853536-8.
• Burkard Polster. A Geometrical Picture Book. — Springer, 1998. — ISBN 978-0-387-98437-7.