Плюккерові координати

набори чисел, що визначають підпростори векторного або проєктивного простору

Плю́керові координа́ти — координати (набори чисел), що визначають підпростори (довільної розмірності) векторного або проєктивного простору . Є узагальненням однорідних координат точок проєктивного простору та також визначені з точністю до множення на довільний ненульовий множник. Уперше ввів Плюккер у окремому випадку проєктивних прямих у тривимірному проєктивному просторі, що для векторних просторів відповідає випадку і .

Визначення в координатах

ред.

Нехай   —  -вимірний підпростір  -вимірного векторного простору  . Для визначення плюкерових координат підпростору   виберемо довільний базис   в   і довільний базис   в  . Кожен вектор   має в базисі   координати  , тобто  . Записуючи координати векторів   у вигляді рядків, отримаємо матрицю

 

ранг якої дорівнює  . Позначимо через   мінор матриці  , що складається зі стовпців з номерами  , які набувають значень від   до  . Числа   незалежні: якщо набір індексів   отримано з   за допомогою перестановки  , то виконується рівність  , де знак «плюс» або «мінус» відповідає тому, чи є перестановка   парною, чи непарною. Розглянута з точністю до множення на спільний ненульовий множник сукупність   чисел   для всіх упорядкованих наборів індексів  , що набувають значень від   до  , називають плюккеровими координатами підпростору  .

Властивості

ред.

1. Незалежність від вибору базису.

Якщо в підпросторі   вибрано інший базис  , то новий набір плюккерових координат   матиме вигляд  , де   — деякий ненульовий множник. Справді, новий базис пов'язаний зі старими співвідношеннями  , і визначник матриці   відмінний від нуля. Відповідно до визначення плюккерових координат і теореми про визначник добутку матриць, маємо  , де  .

2. Грассманіан.

Ставлячи у відповідність кожному  -вимірному підпростору   набір його плюккерових координат  , ми зіставляємо   деяку точку проєктивного простору   розмірності  . Побудоване в такий спосіб відображення   ін'єктивне, але не сюр'єктивне (тобто його образ не збігається з усім простором  ). Образ множини всіх  -вимірних підпросторів  -вимірного простору при відображенні   є  -вимірним проєктивним алгебричним многовидом  , що називається многовидом Грассмана або грассманіаном і позначається   або  .

3. Співвідношення Плюккера.

Критерієм, за яким можна визначити, чи належить точка проєктивного простору   грасманіану   є так звані співвідношення Плюккера:

 

де всі індекси в наборах   і   набувають значень від   до  , знак   позначає пропуск індексу, що стоїть під ним. Ця сума виходить, якщо із сукупності   викинути почергово по одному індексу і цей індекс приписати праворуч до набору  , потім два числа, що вийшли   перемножити (зауважимо, що ці числа є мінорами матриці  , але не обов'язково є плюккеровими координатами, оскільки набори їхніх індексів не обов'язково впорядковані за зростанням) і потім взяти суму всіх таких добутків зі знаками, що чергуються. Співвідношення Плюккера виконуються для кожного  -вимірного підпростору  . І навпаки, якщо однорідні координати  ,  , деякої точки проєктивного простору   задовольняють цим співвідношенням, то ця точка при відображенні   відповідає деякому підпростору  , тобто належить  .

Мовою матриць це означає: якщо числа   задовольняють співвідношенням Плюккера, існує матриця, для якої вони є мінорами максимального порядку, а якщо ні, то не існує такої матриці. Це розв'язує задачу про можливість відновлення матриці за її мінорами максимального порядку з точністю до лінійного перетворення рядків.

Приклад

ред.

У разі   і   маємо  , і отже, кожна площина   у 4-вимірному векторному просторі має   плюккерових координат:  ,  ,  ,  ,  ,  . Вибираючи в площині   базис   так, що   і  , отримуємо матрицю

 

звідки знаходимо:

 ,  ,  ,  ,  ,   .

Очевидно, що виконується співвідношення

  ,

яке зберігається при множенні всіх   на будь-який спільний множник, тобто не залежить від вибору базису. Це і є співвідношення Плюккера, яке визначає проєктивну квадрику   у 5-вимірному проєктивному просторі.

Див. також

ред.

Література

ред.
  • Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М. : изд-во МГУ, 1962.
  • Зеликин М. И.[ru]. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М. : Факториал, 1998.
  • Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М. : ИЛ, 1954. — Т. 1. (Тут плюккерові координати названо грассмановими).
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Физматлит, 2009.
  • Casas-Alvero E.[en]. Analytic Projective Geometry. — European Mathematical Society, 2014.