Плюккерові координати
Плю́керові координа́ти — координати (набори чисел), що визначають підпростори (довільної розмірності) векторного або проєктивного простору . Є узагальненням однорідних координат точок проєктивного простору та також визначені з точністю до множення на довільний ненульовий множник. Уперше ввів Плюккер у окремому випадку проєктивних прямих у тривимірному проєктивному просторі, що для векторних просторів відповідає випадку і .
Визначення в координатах
ред.Нехай — -вимірний підпростір -вимірного векторного простору . Для визначення плюкерових координат підпростору виберемо довільний базис в і довільний базис в . Кожен вектор має в базисі координати , тобто . Записуючи координати векторів у вигляді рядків, отримаємо матрицю
ранг якої дорівнює . Позначимо через мінор матриці , що складається зі стовпців з номерами , які набувають значень від до . Числа незалежні: якщо набір індексів отримано з за допомогою перестановки , то виконується рівність , де знак «плюс» або «мінус» відповідає тому, чи є перестановка парною, чи непарною. Розглянута з точністю до множення на спільний ненульовий множник сукупність чисел для всіх упорядкованих наборів індексів , що набувають значень від до , називають плюккеровими координатами підпростору .
Властивості
ред.1. Незалежність від вибору базису.
Якщо в підпросторі вибрано інший базис , то новий набір плюккерових координат матиме вигляд , де — деякий ненульовий множник. Справді, новий базис пов'язаний зі старими співвідношеннями , і визначник матриці відмінний від нуля. Відповідно до визначення плюккерових координат і теореми про визначник добутку матриць, маємо , де .
2. Грассманіан.
Ставлячи у відповідність кожному -вимірному підпростору набір його плюккерових координат , ми зіставляємо деяку точку проєктивного простору розмірності . Побудоване в такий спосіб відображення ін'єктивне, але не сюр'єктивне (тобто його образ не збігається з усім простором ). Образ множини всіх -вимірних підпросторів -вимірного простору при відображенні є -вимірним проєктивним алгебричним многовидом , що називається многовидом Грассмана або грассманіаном і позначається або .
3. Співвідношення Плюккера.
Критерієм, за яким можна визначити, чи належить точка проєктивного простору грасманіану є так звані співвідношення Плюккера:
де всі індекси в наборах і набувають значень від до , знак позначає пропуск індексу, що стоїть під ним. Ця сума виходить, якщо із сукупності викинути почергово по одному індексу і цей індекс приписати праворуч до набору , потім два числа, що вийшли перемножити (зауважимо, що ці числа є мінорами матриці , але не обов'язково є плюккеровими координатами, оскільки набори їхніх індексів не обов'язково впорядковані за зростанням) і потім взяти суму всіх таких добутків зі знаками, що чергуються. Співвідношення Плюккера виконуються для кожного -вимірного підпростору . І навпаки, якщо однорідні координати , , деякої точки проєктивного простору задовольняють цим співвідношенням, то ця точка при відображенні відповідає деякому підпростору , тобто належить .
Мовою матриць це означає: якщо числа задовольняють співвідношенням Плюккера, існує матриця, для якої вони є мінорами максимального порядку, а якщо ні, то не існує такої матриці. Це розв'язує задачу про можливість відновлення матриці за її мінорами максимального порядку з точністю до лінійного перетворення рядків.
Приклад
ред.У разі і маємо , і отже, кожна площина у 4-вимірному векторному просторі має плюккерових координат: , , , , , . Вибираючи в площині базис так, що і , отримуємо матрицю
звідки знаходимо:
- , , , , , .
Очевидно, що виконується співвідношення
- ,
яке зберігається при множенні всіх на будь-який спільний множник, тобто не залежить від вибору базису. Це і є співвідношення Плюккера, яке визначає проєктивну квадрику у 5-вимірному проєктивному просторі.
Див. також
ред.Література
ред.- Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М. : изд-во МГУ, 1962.
- Зеликин М. И.[ru]. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М. : Факториал, 1998.
- Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М. : ИЛ, 1954. — Т. 1. (Тут плюккерові координати названо грассмановими).
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Физматлит, 2009.
- Casas-Alvero E.[en]. Analytic Projective Geometry. — European Mathematical Society, 2014.