Характеристичний поліном

Характеристичний поліном квадратної матриці $\ A$ розміру $\ n\times n$ — це многочлен степеня $\ n$ від змінної $\ \lambda ,$ який дорівнює

\ p_{A}(\lambda )=\det(A-I_{n}\lambda )

, де

I_{n}

n

.

Мотивація

Скаляр $\lambda$ є власним значенням матриці A для власного вектора $\mathbf {v}$ тоді і тільки тоді коли:

A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,\,

чи

(\lambda I_{n}-A)\mathbf {v} =0\,

Оскільки $\mathbf {v} \neq 0,$ то $(\lambda I_{n}-A)$ повинна бути виродженою, а отже:

\det(\lambda I_{n}-A)=0

.

p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} A\lambda ^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det A

Для матриць елементи яких комутативними є $\mathbb {Q}$ -алгебрами, характеристичний многочлен можна записати як:
$p_{A}(\lambda )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}q_{n-i}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,\operatorname {tr} A^{2}\ldots ,\operatorname {tr} A^{n-i}{\Bigr )}\lambda ^{i},$

де $q_{n-i}$ — многочлени із раціональними коефіцієнтами, що описують залежність елементарних симетричних многочленів від степеневих симетричних многочленів у тотожностях Ньютона (тобто $e_{j}=q_{j}(p_{1},...p_{j}).$ )
Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:

\ p_{B^{-1}AB}(\lambda )=p_{A}(\lambda )

Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:

\ p_{BA}(\lambda )=p_{AB}(\lambda )

Характеристичний поліном від самої матриці дорівнює нульовій матриці (теорема Гамільтона — Келі):

\ p_{A}(A)=0.

Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням) називається рівняння

\ p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=0

Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці $A.$

Тільки вони є власними значеннями матриці $A.$