Зрізаний октаедр

Зрі́заний окта́едр — напівправильний многогранник, відноситься до архімедових тіл, що складається із 8 правильних шестикутників і 6 квадратів. В кожній із 24 вершин сходяться дві шестикутні грані і один квадрат. Кількість двотипних ребер налічує 36 штук, 24 з яких розділяють шестикутник і квадрат і 12 розділяють два шестикутника. Так само як і куб, зрізаний октаедр може заповнити собою безостаточно тривимірний простір. Двоїстий до зрізаного октаедра многогранник — тетракісгексаедр.

Тривимірна модель зрізаного октаедра

Отримати даний многогранник можна за рахунок зрізання всіх шести вершин правильного октаедра на третину від первісної довжини ребра.

Ортогональні проєкції

Формули

Знаючи довжину ребра зрізаного октаедра — a - отримуємо:

Математичний опис
Об'єм	$V=8{\sqrt {2}}a^{3}\approx 11.3137085a^{3}.$
Площа поверхні	$S=\left(6+12{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 26.7846097a^{2}$

Розгортка зрізаного октаедра

Графічне зображення

Якщо шестикутну грань зрізаного тетраедра розділити на трикутники із заданою довжиною ребра отримаємо -

Перестановочний многогранник

Зрізаний октаедр також можна представити у симетричних координатах чотирьох вимірів. Будь-яка перестановка (1,2,3,4) утворює вершини зрізаного октаедра у тривимірному просторі, x + y + z + w = 10. Таким чином, зрізаний октаедр є перестановочним многогранником четвертого порядку, тривимірним опуклим многогранником вкладеним у 4-и вимірний евклідовий простір, який є опуклою оболонкою всіх точок, що отримуються перестановками координат вектора (1,2,3,4).

Заповнення простору зрізаним октаедром

Сферична плитка

Зрізаний октаедр можна подати у вигляді сферичної плитки, і спроєктувати на площину у вигляді стереографічної проєкції. Ця проєкція буде конформною, зберігаючи кути, але не площини чи ребра багатогранника. Прямі лінії на сфері проєктуватимуться як дуги на площині.

	центровано квадратом	центровано шестикутником
Сферична плитка	Стереографічна проєкція (лицева)

Джерела

• Weisstein, Eric W. Cuboctahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Пчелінцев В. О. Кристалографія, кристалохімія та мінералогія. Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Суми: Вид-во СумДУ, 2008, — 232с.
• Гордєєва Є. П., Величко В. Л. Нарисна геометрія. Багатогранники (правильні, напівправильні та зірчасті). Частина І. Навчальний посібник. Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2007, — 198с.
• П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, — 568с.