Узагальнений розподіл Парето

У статистиці, в узагальнений розподіл Парето (УРП, англ. Generalized Pareto distribution) — це сімейство неперервних імовірнісних розподілів. Він часто використовується для моделювання хвостів інших розподілів. Він визначається трьома параметрами: параметром розташування $\mu$, масштабу $\sigma$і форми $\xi$. Іноді він визначається тільки параметром масштабу і форми, а іноді тільки параметром форми. Деякі джерела подають параметр форми у вигляді $\kappa =-\xi \,$.

Узагальнений розподіл Парето
Функція розподілу УРП для $\mu =0$ і різних значень $\sigma$ та $\xi$
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$\mu \in (-\infty ,\infty )\,$ зсув (дійсний) $\sigma \in (0,\infty )\,$ масштаб (дійсний) $\xi \in (-\infty ,\infty )\,$ форми (дійсний)
Носій функції	$x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)$ $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)$
Розподіл імовірностей	${\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}$ where $z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,$
Середнє	$\mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)$
Медіана	$\mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}$
Мода	${\displaystyle }$
Дисперсія	${\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {2(1+\xi ){\sqrt {1-2\xi }}}{(1-3\xi )}}\,\;(\xi <1/3)$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {3(1-2\xi )(2\xi ^{2}+\xi +3)}{(1-3\xi )(1-4\xi )}}-3\,\;(\xi <1/4)$
Ентропія	$\log(\sigma )+\xi +1$
Твірна функція моментів (mgf)	$e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)$
Характеристична функція	{{{char}}}

Означення

Стандартна функція розподілу УРП записується

$F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}$

де носій $z\geq 0$ при $\xi \geq 0$ і $0\leq z\leq -1/\xi$ при $\xi <0$.

$f_{\xi }(z)={\begin{cases}(\xi z+1)^{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{for }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}$

Характеристика

Пов'язані місцевості-масштаб сімейство розподілів, отриманих шляхом заміни аргументу Z з допомогою ${\frac {x-\mu }{\sigma }}$ і регулювання підтримки відповідно: кумулятивна функція розподілу це

$F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}$

для $x\geqslant \mu$ коли $\xi \geqslant 0\,$та $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ при $\xi <0$, де $\mu \in \mathbb {R}$, $\sigma >0$ і $\xi \in \mathbb {R}$.

Функції щільності :

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}$,

або еквівалентно

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}$,

знову, для $x\geqslant \mu$ при $\xi \geqslant 0$, і $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ при $\xi <0$.

Функція щільності є розв'язком диференційного рівняння:

$\left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}$

Особливі випадки

• Якщо параметри форми $\xi$ і локалізації $\mu$ обидва рівні нулю, УРП є експоненційним розподілом.
• Якщо параметр форми $\xi >0$, а параметр розташування $\mu =\sigma /\xi$, тоді УРП еквівалентний розподілу Парето з параметрами масштабу $x_{m}=\sigma /\xi$ і форми $\alpha =1/\xi$.
• Якщо $X$ $\sim$ $GPD$ $($$\mu =0$, $\sigma$, $\xi$ $)$тоді $Y=\log(X)$ $\sim$ $exGPD$ $($$\mu =0$, $\sigma$, $\xi$ $)$, де exGPD є експоненційний узагальнений розподіл Парето. На відміну від УРП, exGPD має моменти всіх порядків, незалежно від його параметрів та інтерпретацій параметрів масштабу і форми, що робить оцінки параметрів більш ефективними.
• УРП дуже схожий на Картавий розподілу.

Генерація узагальнено Парето розподілених випадкових величин

Якщо U є рівномірно розподіленою на (0, 1], тоді

$X=\mu +{\frac {\sigma (U^{-\xi }-1)}{\xi }}\sim {\mbox{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi \neq 0)$

і

$X=\mu -\sigma \ln(U)\sim {\mbox{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi =0).$

Обидві формули отримані шляхом інверсії СГО.

У статистичних пакеті MATLAB, легко можна згенерувати вибірку узагальнено Парето розподілених випадкових чисел використовуючи команду "gprnd".

УРП як експоненційно-гамма суміш розподілів

В УРП випадкова величина може бути виражена у вигляді експоненційної випадкової величини з гамма-розподіленим параметром інтенсивности.

$X|\Lambda \sim Exp(\Lambda )$

і

$\Lambda \sim Gamma(\alpha ,\beta )$

тоді

$X\sim GPD(\xi =1/\alpha ,\ \sigma =\beta /\alpha )$

Однак зауважимо, що оскільки параметри гамма розподілу має бути більшим нуля, ми отримаємо додаткові обмеження: $\xi$ має бути позитивним.

Див. також

• Розподіл задирок
• Розподіл Парето
• GAV розподіл
• Пикандса–Балкемы–теорема де Хаан

Додаткова література

• Pickands, James (1975). Statistical inference using extreme order statistics. Annals of Statistics. 3: 119—131. doi:10.1214/aos/1176343003. (англ.)
• Balkema, A.; De Haan, Laurens (1974). Residual life time at great age. Annals of Probability. 2 (5): 792—804. doi:10.1214/aop/1176996548. (англ.)
• Lee, Se Yoon; Kim, J.H.K. (2018). Exponentiated generalized Pareto distribution:Properties and applications towards extreme value theory. Communications in Statistics - Theory and Methods. 0: 1—25. doi:10.1080/03610926.2018.1441418. (англ.)
• N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distributions Volume 1, second edition. New York: Wiley. ISBN 0-471-58495-9. Chapter 20, Section 12: Generalized Pareto Distributions. (англ.)
• Barry C. Arnold (2011). Chapter 7: Pareto and Generalized Pareto Distributions. У Duangkamon Chotikapanich (ред.). Modeling Distributions and Lorenz Curves. New York: Springer. ISBN 9780387727967. (англ.)
• Arnold, B. C.; Laguna, L. (1977). On generalized Pareto distributions with applications to income data. Ames, Iowa: Iowa State University, Department of Economics. (англ.)

Ланки

• Mathworks: Generalized Pareto distribution