Трига́мма-фу́нкція в математиці є другою з полігамма-функцій. Її позначають
і визначають як
Тригамма-функція дійсного аргументу x
![{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\ln \Gamma (z)\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92c58fc26d8b576cda3c10c27f269c2e023a44d)
де
— гамма-функція[1]. З цього визначення випливає, що
![{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\psi (z)\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9565b4d1357772775aec36625fa445ca94c427)
де
— дигамма-функція (перша з полігамма-функцій)[2].
Тригамма-функцію можна також визначити через суму такого ряду:
![{\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c775c33466542cb046f59c7221e3e82fba348422)
звідки видно, що вона є окремим випадком дзета-функції Гурвіца,
![{\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b41059f3256275d51e7d5ac483280ba94a8362)
Ці формули істинні, коли
(у зазначених точках функція
має квадратичні сингулярності, див. графік функції).
Існують також інші позначення для
, використовувані в літературі:
![{\displaystyle \psi '(z),\;\;\;\psi ^{(1)}(z)\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051af2ea522cafde30ea4be45205cd05fa504182)
Іноді термін «тригамма-функція» застосовують для функції
[1].
Використовуючи подання у вигляді ряду, а також формулу для суми членів геометричної прогресії, можна отримати таке подвійне інтегральне подання:
-
За допомогою інтегрування за частинами виходить таке одинарне подання:
-
Використовується також інше подання, яке можна отримати з попереднього заміною x = e—t:
-
Тригамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення[2]
-
а також формулу доповнення
-
Для тригамма-функції кратного аргументу існує така властивість[2]:
-
Наведемо також асимптотичний розклад із використанням чисел Бернуллі:
-
Нижче наведено часткові значення тригамма-функції:
-
-
-
-
-
-
де G — стала Каталана, а — функція Клаузена, пов'язана з уявною частиною дилогарифма через
-
Використовуючи формулу кратного аргументу і формулу доповнення, a також зв'язок з функцією Клаузена[3][4], маємо:
-
-
-
-
-
-
Для значень за межами інтервалу можна використати рекурентне співвідношення, наведене вище. Наприклад,
-
-
-
- ↑ а б Eric W. Weisstein Тригамма-функція(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- ↑ а б в Eric W. Weisstein Полігамма-функція(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- ↑ C.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral , J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 331—342
- ↑ P.J. de Doelder, On the Clausen integral and a related integral, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 325—330