Стала Каталана

Стала Каталана (англ. Catalan's constant) — число, що зустрічається в різних застосуваннях математики, зокрема, в комбінаториці. Найчастіше позначається літерою G, рідше — K або C. Може бути визначена як сума нескінченного знакозмінного ряду:

Стала Каталана
Названо на честь	Ежен Шарль Каталанd
Розмірність	$1$
Числове значення	0,915965594177
Формула	$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!$
Позначення у формулі	$\beta$
Символ величини (LaTeX)	$G$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

$G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots$

Її числове значення наближено дорівнює:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (послідовність A006752 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Невідомо, чи є G раціональним, чи ірраціональним числом.

Сталу Каталана названо на честь бельгійського математика Ежена Шарля Каталана.

Зв'язок з іншими функціями

Стала Каталана є частковим випадком бета-функції Діріхле:

$G=\beta (2)\;.$

Вона також відповідає частковому значенню функції Клаузена, пов'язаної з уявною частиною дилогарифму

$G=\mathrm {Cl} _{2}(\pi /2)\;=\mathrm {Im} \left(\mathrm {Li} _{2}(e^{\mathrm {i} \pi /2})\right)=\mathrm {Im} \left(\mathrm {Li} _{2}({\mathrm {i} })\right)\;.$

Крім цього, вона пов'язана зі значеннями тригама-функції) дробових аргументів

$\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,$

$\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,$

так що

$G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right]\;.$

Симон Плуфф відшукав нескінченну множину тотожностей між тригама-функцією $\psi _{1}$, $\pi ^{2}$ і сталою Каталана G.

Сталу Каталана також можна виразити через часткові значення G-функції Барнса і гамма-функції:

$G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8}})G({\tfrac {7}{8}})}{G({\tfrac {1}{8}})G({\tfrac {5}{8}})}}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8}})}{\Gamma ({\tfrac {1}{8}})}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\,(2-{\sqrt {2}})}}\right).$

Інтегральні подання

Нижче наведено деякі інтегральні подання сталої Каталана G через інтеграли від елементарних функцій:

$G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\;,$

$G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\;,$

$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\;,$

$G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx\;,$

$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx\;.$

Вона також може бути подана через інтеграл від повного еліптичного інтеграла першого роду K(x),

$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx\;.$

Швидко збіжні ряди

Наведені формули містять швидко збіжні ряди, і їх зручно використовувати для чисельних розрахунків:

$G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.$

і

Теоретичне обґрунтування використання рядів такого типу дали Срініваса Рамануджан для першої формули і Девід Бродгерст (David J. Broadhurst) для другої формули. Алгоритми швидкого обчислення сталої Каталана побудувала К. А. Карацуба.

Ланцюгові дроби

Ланцюговий дріб сталої Каталана (послідовність A014538 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) має такий вигляд:

$G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9,3,1,1,1,1,1,1,\dots ]=$

$=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots }}}}}}}}\;$

Відомі такі узагальнені ланцюгові дроби для сталої Каталана:

$2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2}}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Обчислення десяткових цифр

Число відомих значущих цифр сталої Каталана G значно зросло за останні десятиліття, завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів.

Число відомих значущих цифр сталої Каталана G

Дата	Число значущих цифр	Автори обчислення
1865	14	Ежен Шарль Каталан
1877	20	Джеймс Вітбред Лі Глейшер
1913	32	Джеймс Вітбред Лі Глейшер
1990	20,000	Грег Фі (Greg J. Fee)
1996	50,000	Грег Фі
1996, 14 серпня	100,000	Грег Фі і Симон Плуфф
1996, 29 вересня	300,000	Томас Папаніколау (Thomas Papanikolaou)
1996	1,500,000	Томас Папаніколау
1997	3,379,957	Патрік Демішель (Patrick Demichel)
1998, 4 січня	12,500,000	Ксав'єр Гурдон (Xavier Gourdon)
2001	100,000,500	Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа (Pascal Sebah)
2002	201,000,000	Ксав'єр Гурдон і Паскаль Себа
2006, жовтень	5,000,000,000	Шиґеру Кондо (Shigeru Kondo) і Стів Пальяруло (Steve Pagliarulo)
2008, серпень	10,000,000,000	Шиґеру Кондо і Стів Пальяруло
2009, 31 січня	15,510,000,000	Александер Йї (Alexander J. Yee) і Реймонд Чен (Raymond Chan)
2009, 16 квітня	31,026,000,000	Александер Йї і Реймонд Чен

Див. також

• Дзета-функція Рімана
• Бета-функція Діріхле

Посилання

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant
• Victor Adamchik. A certain series associated with Catalan's constant : [англ.] // Zeitschr. f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) : journal. — 2002. — Vol. 21, № 3. — С. 1—10.
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan, (1993)
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi², (1999)
• Weisstein, Eric W. Catalan's Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Catalan constant: Generalized power series на сайте Wolfram Functions
• Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996)
• David M. Bradley. A class of series acceleration formulae for Catalan's constant : [англ.] // The Ramanujan Journal : journal. — 1999. — Vol. 3, № 2. — С. 159—173. — DOI:10.1023/A:1006945407723.
• David M. Bradley (2007). «A class of series acceleration formulae for Catalan's constant». arXiv:0706.0356.