Теорема Лагранжа

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.

Для будь-якої функції неперервної на [a, b] і диференціованої на (a, b) існує точка c у проміжку (a, b) така, що січна, що поєднує кінцеві точки проміжку [a, b] є паралельною до дотичної в c

Формулювання теореми

Якщо функція $f$ неперервна на проміжку $[a,b]$, диференційовна в $(a,b)$, то знайдеться принаймні одна точка $c\in [a,b]$ така, що має місце формула:

$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Доведення

Розглянемо на проміжку $[a,b]$ наступну допоміжну функцію:

$F(x)=\!f(x)-\!f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\qquad \qquad (1)$.

Перевіримо, що для функції $F(x)$ виконані всі умови теореми Ролля. І справді, $\!F(x)$ неперервна на проміжку $[a,b]$ (як різниця функції $\!f(x)$ та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжку $[a,b]$ має похідну:

$F'(x)=\!f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

З формули (1) очевидно, що $F(a)=\!F(b)=0$.

Згідно з теоремою Ролля на проміжку $(a,b)$ знайдеться точка $c$ така, що

$F'(c)=\!f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\qquad \qquad (2)$

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати, що $b>a$.

Зауваження

У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.

Інша форма запису

Іноді буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, дещо відмінному від початкового. Нехай $f(x)$ відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке $\!x_{0}$ з проміжку $[a,b]$ та надамо йому довільний приріст $\Delta \ \!x$, але такий, щоб значення $x_{0}+\Delta \ \!x$ також належало до проміжку $[a,b]$. Тоді для проміжку $\![x_{0},\!x_{0}+\Delta \ \!x]$, будемо мати:

$f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(c)\qquad \qquad (3)$,

де $c$ — деяка точка, що лежить між $x_{0}$ та $x_{0}+\Delta \ \!x$. Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від $\Delta \ \!x$) число $\theta \$ з інтервалу $0<\theta \ <1$, що $c=x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x$. Таким чином, формулу (3) можна переписати як

$f(x_{0}+\Delta \ \!x)-f(x_{0})=\Delta \ \!x\cdot f'(x_{0}+\theta \ \Delta \ \!x)\qquad \qquad (4)$,

де $\theta \$ — деяке число з інтервалу $0<\theta \ <1$. Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст $\Delta \ \!x$ аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».

Геометрична інтерпретація

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки $(a,f(a))$ та $(b,f(b))$ кривої $y=\!f(x)$, $\!f'(c)$ є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої $y=\!f(x)$. Формула Лагранжа означає, що на кривій $y=\!f(x)$ між точками $x=a$ та $x=b$ знайдеться точка $x=c$ така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

Механічне значення

Якщо розглянути функцію $f(x)$ як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом $s(t)=\!f(x)$, тоді різниця $f(b)-\!f(a)$ є шлях, пройдений тілом, а різниця $b-\!a$ є усім часом, який було витрачено на подолання шляху $f(b)-\!f(a)$. Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.

Див. також

• Теорема Больцано — Коші
• Жозеф-Луї Лагранж
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа-Луї Лагранжа

Джерела

• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)
• Теорема Лагранжа (про скінчені прирости функції) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 276. — 594 с.