Теорема Больцано — Веєрштрасса

Теоре́ма Больцано — Веєрштра́сса — твердження в математичному аналізі, згідно з яким, із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

ІсторіяРедагувати

Ця теорема доведена в 1817 році[1][2] чеським математиком Бернардом Больцано (1781–1848), на півстоліття пізніше була незалежно отримана Карлом Веєрштрассом (1815–1897).

Узагальнення в топологіїРедагувати

Про узагальнення цієї теореми в топології. Нехай   — топологічний простір,   — підмножина  . Тоді:

  • Якщо   — компакт, то для будь-якої послідовності   з   будь-яка гранична точка цієї послідовності також належить  .
  • І навпаки, якщо для кожної послідовності з підмножини гранична точка належить множині, і окрім цього   задовільняє другу аксіому зліченності, то   є компактною підмножиною.

Зокрема якщо   задовільняє другу аксіому зліченності, то   буде компактною тоді і лише тоді коли для кожної послідовності з   гранична точка належить їй[3][4].

Класична теоремаРедагувати

Нехай   — будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел, тобто

 

З неї завжди можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення

Розділимо відрізок   точкою   навпіл. Тоді хоча б один із відрізків

  чи   —

містить нескінченну кількість членів послідовності  . Позначимо такий відрізок   . Аналогічно утворимо відрізки

  та  ,

хоча б один з яких теж містить нескінченну кількість членів послідовності  .

Позначимо його   . Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність вкладених відрізків

 ,

довжина яких

 .

Оскільки

  ,

то, згідно з теоремою про принцип вкладених відрізків

 ,

Виберемо послідовність   так. Нехай   — будь-який із членів послідовності  , що належить відрізку  ;

  — будь-який із членів послідовності  , що належить відрізку   і такий, що  .

Такий член завжди існує, оскільки відрізок   містить нескінченно багато членів послідовності  .

І взагалі,   — будь-який із членів послідовності  , що належить відрізку   і такий, що  .

Продовжуючи описаний процес, отримуємо послідовність  , причому

 

і виконують нерівності

 

Враховуючи, згідно з теоремою про три послідовності, маємо

 .

НаслідокРедагувати

З будь-якої послідовності дійсних чисел можна виділити підпослідовність, збіжну в  .

Доведення

Нехай   — довільна послідовність. Якщо   — обмежена, то за теоремою Больцано — Веєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність.

Якщо   — необмежена зверху, то

 .

Доведемо, що

  .

Справді, оскільки

 ,

то

 ,

що й означає виконання співвідношення.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ДжерелаРедагувати

  1. The Bolzano–Weierstrass theorem ... was actually first proved by Bolzano in 1817 as a lemma in the proof of the intermediate value theorem: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, das zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation) / Bernard Bolzano, gedruckt bei Gottlieb Haase, 1817. – 60 S.
  2. Воlzаnо В., «Abhandl. Böhmischen Ges. Wiss.», 1817 / Л. Д. Кудрявцев // Математическая энциклопедия[ru]. Том 1 (А – Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.
  3. Заболоцький, М.В.; Сторож, О.Г.; Тарасюк, С.І. (2008). Математичний аналіз (укр). Київ: "Знання". ISBN 978-966-346-323-0. 
  4. Заболоцький, М.В.; Фединяк, С.І.; Філевич, П.В. (2005). Практикум з математичного аналізу (укр). Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. с. 80.