Теорема Адамара про лакуни

Теорема Адамара про лакуни (також теорема Островського — Адамара) — твердження про неможливість аналітичного продовження степеневого ряду, у якого коефіцієнти дорівнюють нулю для доданків, що задовольняють деяким вимогам, за межі круга збіжності, навіть на точки границі круга. Названа на честь математиків Олександра Островського і Жака Адамара.

Формулювання

Розглянемо функцію, яка визначається степеневим рядом виду $f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}z^{\lambda _{n}}$ , збіжним у крузі радіусу 1, де $\{p_{n}\}$ — деяка зростаюча послідовність натуральних чисел. Тоді, якщо існує деяка додатна константа $\delta$ , така, що ${\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}>1+\delta$ для всіх $n$ , то функція $f(z)$ є лакунарною, тобто для неї не існує аналітичного продовження навіть на точки на границі круга.

Доведення

Припустимо, що деяка $P\in \partial D$ є регулярною для $f$ , тобто для $f$ існує аналітичне продовження в деякий окіл цієї точки. Без втрати загальності можна вважати $P=1$ . Дійсно замінивши $z$ на $wz$ , де $|w|=1$ , отримуємо ряд тієї ж форми, коефіцієнти якого за модулем рівні попередньому; тож новий ряд також має радіус збіжності 1, згідно з радикальною ознакою Коші. Тоді існує круг $D(l,\epsilon )$ і голоморфна функція $F$ на $U=D(0,1)\cup D(l,\epsilon )$ для яких $F|_{D(0,1)}=f|_{D(0,1)}$ .

Виберемо ціле число $k>0$ таке що $(k+l)/k<1+\delta$ і визначимо функцію $\psi (z)={\frac {1}{2}}(z^{k}+z^{k+1})$ .

Зауважимо, що $\psi (1)=1$ і якщо $|z|\leqslant 1$ , але $z\neq 1$ , тоді маємо

|\psi (z)|={\frac {1}{2}}|z^{k}|\cdot |1+z|<{\frac {1}{2}}|z^{k}|\cdot 2\leqslant 1

Тому $\psi ({\overline {D}})$ є компактною підмножиною $U$ . З неперервності $\psi$ випливає, що існує круг $D(0,1+\delta )$ такий що $\psi (D(0,1+\delta ))\subseteq U$ . Зауважимо, що $1\in \psi (D(0,1+\delta ))$ .

Визначимо $G(z)=F(\psi (z)),\;z\in D(0,1+\delta )$ . Розкладемо $G$ в степеневий ряд в околі 0:

G(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}

.

Порівняємо цю формулу із формулою одержаною заміною $\psi (z)$ у степеневий ряд для $F=f$ на $D(0,1)$ :

(F\circ \psi )(z)=\sum _{j}a_{j}\left({\frac {1}{2}}\left(z^{k}+z^{k+1}\right)\right)^{p_{j}}

Зауважимо що j-й доданок цього ряду містить степені $z$ від $z^{kp_{j}}$ до $z^{(k+1)p_{j}}$ , а (j+1)-й доданок містить степені $z$ від $z^{kp_{j+1}}$ до $z^{(k+1)p_{j+1}}$ . Але умови теореми щодо $\{p_{n}\}$ і вибір $k$ гарантують що $(k+1)p_{j}<k(p_{j+1})$ , тож степені у різних доданках є різними відрізняються.

Як наслідок,

\sum _{j=0}^{N}a_{j}(\psi (z))^{p_{j}}=\sum _{l=0}^{(k+1)p_{N}}c^{l}z^{l}

.

Вираз у правій стороні збігається при $N\to \infty$ на крузі $D(0,1+\delta )$ , оскільки $G(z)$ є голоморфною всюди в цьому крузі. Тому збігається і вираз у лівій стороні. Іншими словами, $\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\omega ^{p_{j}}$ збігається для всіх $w\in \psi (D(0,1+\delta ))$ . Зокрема цей ряд збігається для всіх $w$ в околі 1, тож із теореми Абеля випливає, що його радіус збіжності не є рівним 1, що суперечить припущенню.

Див. також

Література

Бибербах Л. Аналитическое продолжение, пер. с нем. — М.: Наука, 1967. (рос.)
Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X