Розподіл Бейтса

У теорії ймовірності та статистиці, розподіл Бейтс, названий на честь Ґрейс Бейтс, це ймовірнісний розподіл середнього послідовності статистично незалежних рівномірно розподілених випадкових величин на одиничному інтервалі. Цей розподіл іноді плутають з розподілом Ірвіна–Галла, яка є розподілом суми (не середнього) n незалежних випадкових величин, рівномірно розподілених з інтервалу [0, 1].

Розподіл Бейтс
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$-\infty <a<b<\infty$ $n\geq 1$ ціле
Носій функції	$x\in [a,b]$
Розподіл імовірностей	див. нижче
Середнє	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Дисперсія	${\tfrac {1}{12n}}(b-a)^{2}$
Коефіцієнт асиметрії	0
Коефіцієнт ексцесу	$-{\tfrac {6}{5n}}$
Характеристична функція	$\left(-{\frac {in(e^{\tfrac {ibt}{n}}-e^{\tfrac {iat}{n}})}{(b-a)t}}\right)^{n}$

Означення

Розподіл Бейтса - це неперервний розподіл ймовірностей в середнього, X, n незалежних рівномірно розподілених випадкових величин з одиничного інтервалу, U_i:

$X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.$

Рівняння, що визначає функцію щільності розподіленої за Бейтсом випадкової величини Х є

$f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)$

для Х з інтервалу (0,1), і нуль поза ним. Тут sgn(nx - k) позначає знак функції:

$\operatorname {sgn}(nx-k)={\begin{cases}-1&nx<k\\0&nx=k\\1&nx>k.\end{cases}}$

Більш узагальнено, середнє n незалежних рівномірно розподілених випадкових величин на відрізку [а,b]

$X_{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}(a,b).$

матиме функцію щільності

$g(x;n,a,b)=f_{X}\left({\frac {x-a}{b-a}};n\right){\text{ for }}a\leq x\leq b$

Таким чином, щільність розподілу

$f(x)={\begin{cases}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\left({\frac {x-a}{b-a}}-k/n\right)^{n-1}\operatorname {sgn} \left({\frac {x-a}{b-a}}-k/n\right)&{\text{if }}x\in [a,b]\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Надбудови розподілу Бейтс

Замість ділити на n можна також використовувати √n щоб створити аналогічний розподіл зі сталою дисперсією (наприклад одиничною). Віднімаючи середнє можна створити розподіл з нульовим середнім. Таким чином, параметр n став суто параметром регулювання форми, і отримуємо розподіл, яке охоплює рівномірний, трикутний і, асимптотично, також нормальний розподіл.

Дозволяючи неціле значення n отримаємо досить гнучкий розподіл (наприклад, В(0,1) + 0.5U(0,1) дає трапезоїдний розподіл). Насправді t-розподіл Стюдента є природним продовженням нормального розподілу для моделювання даних з грубими хвостами. І такий узагальнений розподіл Бейтса аналогічно для даних з худими хвостами (ексцес < 3).

Див. також

• Розподіл Ірвіна–Галла
• Нормальний розподіл
• Центральна гранична теорема
• Рівномірний розподіл (безперервне)
• Трикутний розподіл

Джерела

• Bates,G.E. (1955) "Joint distributions of time intervals for the occurrence of successive accidents in a generalized Polya urn scheme", Annals of Mathematical Statistics, 26, 705–720