Розділення змінних

В математиці метод відокремлення змінних (відомий також як метод Фур'є) є одним з методів для знаходження розв'язку звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похідними, які можна переписати таким чином, щоб кожна з двох змінних містилися виключно по різні боки рівняння (по різні боки від знака «дорівнює»). У найпростішому випадку, якщо маємо справу з трьома змінними b=f(x, y, z), одній з величин z у межах інтервалу вимірів (z₁ — z_n) надають кілька послідовних значень. Для двох інших змінних х та y будують графіки функцій y=fi (x) при z_i = const. У результаті на одному й тому самому графіку одержують сімейство кривих y=f_i (x) для різних значень z.

Звичайні Диференціальні Рівняння (ЗДР)

Нехай дано диференціальне рівняння в наступній формі:

${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x)),\qquad \qquad (1)$

яке ми можемо спростити використовуючи заміну $y=f(x)\!$:

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).$

Вважаючи що h(y) ≠ 0, ми можемо рознести компоненти, що залежать від x та від y по різні боки цього рівняння, щоб отримати:

${dy \over h(y)}={g(x)dx}.$

Тут dx (чи dy) можна розглядати на спрощеному рівні лише як зручний запис, що допомагає запам'ятати методику маніпуляцій. Формальне визначення dx як диференціалу є більш глибоким і просунутим поняттям.

Альтернативний запис

Ті, кому не подобається запис Лейбніца, можуть використовувати наступну форму запису:

${\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),$

але з цього запису не так очевидно, чому метод називають саме «розділенням змінних».

Інтегруючи обидві частини рівняння по $dx$, ми отримуємо

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,\qquad \qquad (2)$

або, що те ж саме,

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx$

завдяки застосуванню правила підстановки при інтегруванні.

Коли проінтегрувати окремо вирази у лівій та правій частині рівняння, то можна знайти його розв'язок:

$\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy+C_{1}=\int g(x)\,dx+C_{2}.$

Слід зазначити, що немає необхідності використовувати тут дві константи інтегрування, оскільки достатньо лише однієї константи $C=C_{2}-C_{1}$.

Зверніть увагу, що метод розділення змінних дозволяє нам розірвати диференціал ${\frac {dy}{dx}}\!$ на окремі частини. Це у свою чергу дозволяє нам скористатися зручним методом для розв'язку диференційних рівнянь даного типу, як це показано в наступних прикладах.

Приклад (I)

Звичайне диференціальне рівняння

${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))$

можна записати як

${\frac {dy}{dx}}=y(1-y),$

вважаючи що $f(x)=y\!$. Якщо взяти $g(x)=1\!$, а $h(y)=y(1-y)\!$, тоді ми можемо записати дане діференціальне рівняння у вигляді рівняння (1), поданого вище. Відповідно, у поданому рівнянні можна виконати розділення змінних. Як і раніше, ми розглядаємо $dy\!$ та $dx\!$ як певні величини, на які ми можемо поділити або помножити обидві частини рівняння. В даному випадку, помноживши обидві частини рівняння на $dx\!$ та поділивши їх на $y(1-y)\!$, ми отримаємо:

${\frac {dy}{y(1-y)}}=dx.$

Таким чином, ми «розділили» змінні x та y одну від одної, оскільки змінна x та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у правій частині рівняння, в той час як змінна y та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у лівій частині.

Інтегруючи обидві частини рівняння, ми отримуємо:

$\int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx,$

що після спрощення, застосовуючи метод інтегрування простих дробів, перетвориться на

$\int {\frac {1}{y}}\,dy+\int {\frac {1}{1-y}}\,dy=\int 1\,dx,$

й дасть в результаті:

$\ln |y|-\ln |1-y|=x+C\!$

де C є константою інтегрування. Здійснивши прості алгебраїчні перетворення, отримуємо простий розв'язок для y:

$y={\frac {1}{1+Be^{-x}}},$

де $B=e^{-C}\!$ є константою. Щоб переконатися у правильності даного розв'язку досить продиференціювати його по $dx\!$ й отримати те ж саме рівняння, з якого ми починали даний приклад. (Слід бути уважним з абсолютними величинами при розв'язанні даного рівняння, оскільки різні знаки абсолютної величини змінюють знак константи B на протилежний. Випадок B = 0 дає розв'язок y = 1, який обговорюється нижче.)

Необхідно зазначити, що оскільки ми ділили обидві частини рівняння на $y\!$ та $(1-y)\!$, слід перевірити чи значення $y(x)=0\!$ та $y(x)=1\!$ є розв'язками даного диференціального рівняння. В даному випадку обидва ці значення є розв'язками нашого рівняння (див. також особливі розв'язки).

Приклад (II)

Ріст населення часто моделюють використовуючи наступне диференційне рівняння:

${\frac {dP}{dt}}=vP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

де $P\!$ є функцією зміни населення з часом $t\!$, $v\!$ є швидкістю росту, а $K\!$ відповідає здатності виживати в даному середовищі.

Це диференційне рівняння можна розв'язати застосовуючи метод розділення змінних.

${\frac {dP}{dt}}=vP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

$\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int v\,dt$

Щоб взяти інтеграл у лівій частині рівняння, отриманий дріб слід спочатку переписати як

${\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}},$

а потім спростити до

${\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}$

Таким чином ми маємо, що:

$\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int v\,dt$

$\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=vt+C$

$\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-vt-C$

$\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-vt-C$

${\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-vt-C}$

${\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-vt}$

${\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-vt}$

Нехай $A=\pm e^{-C}$.

${\frac {K-P}{P}}=Ae^{-vt}$

${\frac {K}{P}}-1=Ae^{-vt}$

${\frac {K}{P}}=1+Ae^{-vt}$

${\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-vt}}}$

$P={\frac {K}{1+Ae^{-vt}}}$

Відповідно, розв'язок цього диференціального рівняння подається у формі

$P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-vt}}}$

Щоб визначити значення константи $A$ приймемо, що при $t=0\!$ початкове населення становило $P\left(0\right)=P_{0}$. Тоді отримуємо:

$P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}$

Приймаючи до уваги що $e^{0}=1\!$, знаходимо вираз для $A\!$:

$A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}$

Тому кінцевий розв'язок цього диференціального рівняння має вигляд:

$P\left(t\right)={\frac {KP_{0}}{K+P_{0}(1-e^{-vt})}}$

Диференціальні рівняння в частинних похідних

Маючи диференціальне рівняння в частинних похідних для функції

$F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$

що залежить від n змінних, деколи можна здогадатися, що розв'язок має форму

$F=F_{1}(x_{1})\cdot F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})$

або

$F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n}),$

що переводить диференціальне рівняння з частинними похідними у систему звичайних диференціальних рівнянь. Зазвичай кожна незалежна змінна створює константу розділення, що не може бути визначена з одного лише вихідного рівняння.

Приклад (I)

Припустимо, що F є функцією змінних x, y та z, і що ми намагаємося розв'язати наступне рівняння в частинних похідних:

${\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0\qquad \qquad (1)$

Спробуємо шукати розв'язок у формі

$F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)\qquad \qquad (2)$

Підставляючи рівняння (2) в (1), ми отримаємо

${\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0\qquad \qquad (3)$

Зверніть увагу, що X′(x) є функцією лише від x, Y′(y) є функцією лише від y, а Z′(z) є функцією лише від z. Для того, щоб рівняння (1) виконувалося для всіх x, y та z, кожен з доданків у рівнянні (3) повинен бути константою, інакше кожен з доданків вносив би змінність, що не скасовувалась би іншими двома доданками. Тому

${\frac {dX}{dx}}=c_{1}\quad {\frac {dY}{dy}}=c_{2}\quad {\frac {dZ}{dz}}=c_{3},\qquad \qquad (4)$

де константи c₁, c₂, c₃ задовольняють рівність

$c_{1}+c_{2}+c_{3}=0\qquad \qquad (5)$

Рівняння (4) насправді є системою з трьох звичайних диференціальних рівнянь. В даному випадку вони тривіальні й можуть бути розвязані простим інтегруванням, призводячи до:

$F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4},\qquad \qquad (6)$

де константа інтегрування c₄ визначається з початкових умов.

Приклад (IIa) Лапласіан

Розглянемо диференціальне рівняння

$\nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0.$

Припускаючи, що змінні тут розділяються, будемо шукати розв'язок у формі

$v=X(x)Y(y).\,$

В загальному випадку розв'язок буде нескінченною лінійною комбінацією функцій вищезгаданої форми. В деяких спеціальних випадках (див. Приклад (IIb) нижче) припущення про розділення змінних виконується точно.

Виконуючи підстановку, отримаємо

${\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)$

$=Y(y)X''(x)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0.\,$

далі розділимо все рівняння на X(x):

${X''(x)Y(y) \over X(x)}+Y''(y)+\lambda Y(y)=0,$

а потім на Y(y):

${X''(x) \over X(x)}+{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}=0.$

Тепер X′′(x)/X(x) є функцією лише від x, а (Y′′(y)+λY(y))/Y(y) є функцією лише від y. Для того, щоб їх сума була нульовою при всіх можливих значеннях x та y, обидві ці функції мають бути константами. Тому

${X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)},$

де k є константою розділення. Це рівняння розбивається на звичайні диференціальні рівняння

$X''(x)-kX(x)=0\,$

та

$Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0\,$

які можна розв'язати відповідним чином. Якщо вихідне рівняння було крайовою задачею, то при цьому треба використати відповідні граничні умови. Це загальновживаний метод, що використовується у багатьох підручниках з фізики (від електромагнетизму до квантової механіки), й він буде дуже корисним для будь-якого студента-фізика.

Приклад (IIb) Власні значення та власні функції Лапласіана

У прямокутній області (наприклад при [0, L₁] × [0, L₂]) з граничними умовами Діріхле припущення про розділення змінних, зроблене у прикладі (IIa), виконується точно. Це дозволяє нам отримати явні вирази для власних функцій через тензорні добутки власних функцій другої похідної, отриманих для одновимірного випадку:

${\begin{aligned}v_{j_{1},j_{2}}(x,y)&={\sqrt {\frac {2}{L_{1}}}}\sin \left({\frac {j_{1}\pi x}{L_{1}}}\right)\otimes {\sqrt {\frac {2}{L_{2}}}}\sin \left({\frac {j_{2}\pi y}{L_{2}}}\right)\\[8pt]&={\frac {2}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}\sin \left({\frac {j_{1}\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {j_{2}\pi y}{L_{2}}}\right),\qquad j_{1},j_{2}=1,\dots ,\infty .\end{aligned}}$

Власні значення будуть сумою одновимірних власних значень другої похідної. У цьому прикладі,

$\lambda _{j_{1},j_{2}}=-{\frac {j_{1}^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+-{\frac {j_{2}^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}.$

Матриці

Матрична форма розділення змінних — це сума Кронекера.

Приклад: 2D Дискретний Лапласіан на регулярній ґратці

$L=\mathbf {D_{xx}} \oplus \mathbf {D_{yy}} =\mathbf {D_{xx}} \otimes \mathbf {I} +\mathbf {I} \otimes \mathbf {D_{yy}} ,\,$

де $\mathbf {D_{xx}}$ та $\mathbf {D_{yy}}$ — одновимірні оператори Лапласа для напрямків x та y відповідно, а $\mathbf {I}$ — одиничні матриці відповідного розміру. Див. докладніше у головній статті сума Кронекера для дискретних Лапласіанів (Kronecker sum of discrete Laplacians).

Програмне забезпечення

Xcas: split((x+1)*(y-2), [x, y]) = [x+1,y-2]

Джерела

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
• Основний матеріал було взято з англійської Вікіпедії й доповнено.

Література

• Узагальнена схема відокремлення змінних. Диференціально-символьний метод: Моногр. / П. І. Каленюк, З. М. Нитребич; Нац. ун-т «Львів. політехніка». — Л., 2002. — 291 c. — Бібліогр.: с. 275—288.

Посилання

• Методи загального та функціонального розділення змінних [Архівовано 30 червня 2007 у Wayback Machine.] у «Світі Математичних Рівнянь».

• Приклади розділення змінних для розв'язку диференціальних рівнянь в частиних похідних.