Процедура Келі — Діксона
Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці.
Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д.
Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею.
Кватерніони
ред.Довільний кватерніон можна представити у вигляді
або
де — комплексні числа.
Позначимо ще один кватерніон як
Перемноживши кватерніони, отримаємо:
- — дужки розкрили, бо множення кватерніонів асоціативне.
Оскільки
то переставимо множники і отримаємо:
Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду , що задовільняють формулу множення, що збігається з формулою множення комплексних чисел.
Загальний випадок
ред.Якщо для деяких чисел та існують поняття: множення, ділення, спряженого числа і норми числа як
то ці поняття можна ввести і для впорядковиних пар чисел :
- — закон множення пар,
- — спряжена пара.
Властивості
ред.- Норма впорядкованої пари:
- — рівна нулю тільки при a=b=0.
- Ділення визначається як чи — отже з попередньої властивості випливає відсутність дільників нуля.
- Якщо для чисел виконується то це виконується і для впорядкованих пар:
- Якщо для впорядкованих пар виконується попередня умова та умова альтернативності, то вони утворюють нормовану алгебру, оскільки:
Узагальнення Шафера
ред.Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом уявної одиниці рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись Алгебри Кліффорда).
Див. також
ред.Джерела
ред.- Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)