Відкрити головне меню

Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці.

Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д.

Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею.

Зміст

КватерніониРедагувати

Довільний кватерніон   можна представити у вигляді  

або  

де  комплексні числа, оскільки   виконується як для комплексних чисел так і для кватерніонів.

Позначимо ще один кватерніон як

 

Перемноживши кватерніони, отримаємо:

  — дужки розкрили, бо множення кватерніонів асоціативне.

Оскільки  

то переставимо множники і отримаємо:

 

Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду  , що задовільняють вищенаведену формулу множення.

Дана формула цікава ще й тим, що вона збігається з формулою множення комплексних чисел.

Загальний випадокРедагувати

Якщо для деяких чисел   та   існують поняття: множення, ділення, спряженого числа і норми числа як  

то ці поняття можна ввести і для впорядковиних пар чисел  :

  •   — закон множення пар,
  •   — спряжена пара.

ВластивостіРедагувати

  • Норма впорядкованої пари:
  — рівна нулю тільки при a=b=0.
  • Ділення   визначається як   чи   — отже з попередньої властивості випливає відсутність дільників нуля.
  • Якщо для чисел виконується   то це виконується і для впорядкованих пар:
 
 

Узагальненя ШафераРедагувати

Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом уявної одиниці рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись Алгебри Кліффорда).

ДжерелаРедагувати

  • И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. - Москва, "Наука". - 1973.