— область в евклідовому просторі

Якщо функція , то очевидно приймає значення на межі , яке будемо позначати . Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на межі для довільної функції (така функція не є неперервною та визначається з точністю до міри нуль, а міра Лебега множини дорівнює нулю).

Теорема.Редагувати

Нехай   - обмежена область і   є  . Тоді існує такий лінійний оператор 

 , що:

    1) , якщо  ;
    2) .

Означення.Редагувати

Оператор   визначенній у теоремі, називається оператором сліду, а   — слідом функції на межі  .

Доведення.Редагувати

1. Припустимо спочатку, що   і межа області   є плоскою в деякому околі точки  , тобто існує таке число  , що  .

Позначимо  

Виберемо функцію   таку, що   на   і   на  . Позначимо   i  . Застосовуючи нерівність Юнга, виводимо

         (*)

2. Якщо межа не є плоскою в околі   точки  , то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення   i застосувавши (*) виводимо нерівність

      

де  .

3.Оскільки   — компакт, то існує скінченне число точок   і відкритих множин   , які містять   і

  та  . Підсумовуючи останні нерівності за   отримаємо нерівність

      

Для довільної функції   визначемо оператор  . Очевидно, що він є лінійним і

        (**)

4. Тепер розглянемо довільну функцію  . Існує послідовність   така, що

  в   при  

Для кожної функції   визначена функція   і має місце нерівнічть (**). Тоді

      .

Отже,   — фундаментальна послідовність у  . Границею цієї послідовності позначимо через  , тобто  . Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності

  при  , отримаємо

     .    


ЛітератураРедагувати

Т. А. Мельник «Простори Соболєва та узагальнені розв'язки задач математичної фізики»

ПриміткиРедагувати