Ознака Діріхле

Ознака Діріхле — в математиці одна із ознак збіжності ряду, названа на честь німецького математика Діріхле.

Твердження і доведення

Нехай виконуються такі умови:

• Послідовність $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ обмежена, тобто $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N}$.
• $a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$.
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

Тоді ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ є збіжним.

Доведення

Із збіжності $a_{n}$ до нуля маємо, що для будь-якого $\varepsilon >0$ існує $N\in \mathbb {N} ,$ що $a_{n}<\varepsilon$ виконується для всіх $n>N$. Т

Також:

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})+a_{n}B_{n}$

Оскільки $a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ то також :

$\left|\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leqslant \sum _{k=1}^{n-1}|B_{k}|(a_{k}-a_{k+1})\leqslant M\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n})$

Відповідно ряд $\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})$ є абсолютно збіжним і ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ збіжним оскільки його часткові суми відрізняються на $a_{n}B_{n}$, що прямує до нуля.

Приклади застосування

• Нехай $a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ є монотонною послідовністю і $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. Якщо взяти $b_{i}=(-1)^{i-1}$ то із ознаки Діріхле випливає збіжність ряду ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$. Таким чином теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів є наслідком теореми Діріхле.
• Якщо $a_{n}$ є монотонно спадною і $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$. Нехай тепер $b_{j}=\cos jx$ і $b_{j}=\sin jx$ де дійсне число $x\neq 2\pi m,\,m\in \mathbb {Z} .$ Згідно елементарних тригонометричних тотожностей:

$2\sin jx\sin {1 \over 2}x=\cos \left(j-{1 \over 2}\right)x-\cos \left(j+{1 \over 2}\right)x$

$2\cos jx\sin {1 \over 2}x=\sin \left(j+{1 \over 2}\right)x-\sin \left(j-{1 \over 2}\right)x$

Таким чином:

$\sum _{j=1}^{n}\cos jx={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos {\frac {3}{2}}x+\cos {\frac {3}{2}}x-\cos {\frac {5}{2}}x+\ldots -\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}$

$\sum _{j=1}^{n}\sin jx={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin {\frac {3}{2}}x-\sin {\frac {3}{2}}x+\sin {\frac {5}{2}}x-\ldots +\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}$

Із цих формул одержується, що всі суми ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\cos jx}$ і ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sin jx}$ за абсолютним значенням є обмеженими числом ${\frac {1}{\left|\sin {\frac {x}{2}}\right|}}.$

Відповідно згідно ознаки Діріхле ряди ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\cos jx}$ і ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\sin jx}$ є збіжними.

Конкретними прикладами таких рядів є ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\cos jx}{j}}}$ і ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\sin jx}{j}}.}$ Оскільки комплексне число $z$ для якого $|z|=1$ можна записати як $z=\cos x+\sin x\cdot i$ і $z^{j}=\cos jx+\sin jx\cdot i$, то із збіжності цих рядів випливає збіжність комплексного ряду ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j}}}$ для $|z|=1$ і $z\neq 1.$

Ознака Діріхле для невласного інтегралу

Нехай виконуються умови:

• $f(x)\in C[a,\;+\infty ]$ і має на $[a,\;+\infty ]$ обмежену первісну $F(x)$, тобто $\exists M>0:\quad |F(x)|\leqslant M\quad \forall x>a$;
• функція $g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad \forall x>a$;
• $\lim _{x\to +\infty }g(x)=0$.

Тоді $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx$ існує.

• Очевидно, також можна було визначити такі умови $g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad \forall x>a$.
• Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою.

$\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{{\sqrt {x}}+\sin x}}\,dx=\infty .$

Проте ця умова не є необхідною:

$\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x+2\sin x}}\,dx$ — збігається.

Див. також

• Ознака Абеля
• Інтегральна ознака Коші — Маклорена

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)