Інтегральна ознака Коші — Маклорена

Інтегральна ознака Коші — Маклорена — ознака збіжності спадного додатного числового ряду. Ознака Коші — Маклорена дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності невласного інтеграла відповідної функції на , Останній часто може бути знайдений в явному вигляді.

Формулювання теоремиРедагувати

Нехай для функції f(x) виконується:

  1.   (функція набуває невід'ємних значень)
  2.   (функція монотонно спадає)
  3.   (відповідність функції члену ряду)

Тоді ряд   і невласний інтеграл   збігаються або розбігаються одночасно.

Начерк доведенняРедагувати

  1. Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку
  2. Площа більшої фігури дорівнює  
  3. Площа меншої фігури дорівнює  
  4. Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює  
  5. Отримуємо  
  6. Далі доводиться за допомогою критерію збіжності знакододатних рядів .

Повне доведенняРедагувати

   монотонна на  

отже   збігається

   

   

 

  нестрого монотонно зростає

Позначимо  

границі   і   — скінченні числа, отже   і   обмежені (ідея)

Нехай збігається інтеграл     обмежена    обмежена   

Нехай тепер збігається сума           обмежена   , оскільки якщо функція   невід'ємна на деякому півінтервалі  , то для збіжності інтеграла   необхідно і достатньо, щоб усі інтеграли  , де   були обмеженими. Теорему доведено.

ПрикладиРедагувати

  •   розбіжний, оскільки   .
  •   збіжний, оскільки   .

Оцінка залишку рядуРедагувати

Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити залишок   знакододатного ряду. З отриманого в доведенні виразу

 

за допомогою нескладних перетворень отримуємо:

  .

Див. такожРедагувати