У математиці ознака Абеля (також відома як критерій Абеля) є методом тестування збіжності нескінченного ряду. Ознака названа на честь математика Нільса Генріка Абеля. Існує дві трохи різні версії ознаки Абеля — одна використовується для рядів дійсних чисел, а інша — для степеневих рядів у комплексному аналізі. Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій, що залежать від параметрів.

Ознака Абеля збіжності числових рядів ред.

Нехай виконуються такі умови:

  1.   — збіжний ряд,
  2.   — монотонна послідовність,
  3.   — обмежена, тобто   для деякого   і всіх натуральних  

Тоді ряд   також є збіжним.

Важливо розуміти, що ця ознака є доречною і корисною у сенсі неабсолютної збіжності ряду  . Для абсолютно збіжних рядів ця теорема, хоч і справедлива, але є майже очевидною.

Доведення ред.

Теорему можна довести безпосередньо з використанням дискретного перетворення Абеля (сумування частинами).

Згідно критерію Коші збіжності числових рядів достатньо довести, що для довільного   існує натуральне число   для якого для всіх   і всіх натуральних чисел   виконується нерівність  

Нехай   — довільне додатне число. Оскільки ряд   є збіжним, то згідно ознаки Коші існує натуральне число   для якого для всіх   і всіх натуральних чисел   виконується нерівності:

 

Якщо у цьому випадку позначити   то   і можна застосувати нерівність із статті Дискретне перетворення Абеля:

 

Таким чином для   ряд   задовольняє умову Коші для числа   . Таким чином згідно критерію Коші ряд   є збіжним.

Ознака Абеля в комплексному аналізі ред.

Тісно пов'язана ознака збіжності, також відома як ознака Абеля, часто може використовуватися для встановлення збіжності степеневого ряду на межі його кола збіжності. Зокрема, ознака Абеля стверджує: якщо послідовність додатних дійсних чисел   монотонно спадає (або принаймні для всіх  , більших за деяке натуральне число  , маємо  ), причому

 

тоді степеневий ряд

 

є збіжним всюди на замкнутому одиничному колі, крім випадку, коли  . Ознаку Абеля не можна застосовувати для  , тому збіжність у цій окремій точці слід досліджувати окремо. Зауважимо, що з ознаки Абеля випливає, зокрема, що радіус збіжності дорівнює принаймні 1. Вона також може бути застосована до степеневого ряду з радіусом збіжності   за допомогою простої заміни змінних  .[1] Зауважимо, що ознака Абеля є узагальненням ознаки Лейбніца, якщо взяти  .

Доведення ознаки Абеля: Припустимо, що точка   належить одиничному колу,  . Для кожного значення   визначимо

 

Помноживши цю функцію на  , отримаємо

 

Перший доданок — константа, другий доданок — рівномірно збігається до нуля (оскільки за припущенням послідовність   збігається до нуля). Необхідно лише довести, що ряд збігається. Покажемо, що цей ряд є абсолютно збіжним:

 

де остання сума — це збіжний телескопічний ряд. Модуль опущено, оскільки за припущенням послідовність   — спадна.

Звідси, послідовність   збігається (навіть рівномірно) на закритому одиничному крузі. Якщо  , то можна поділити на   і отримуємо результат.

Ознаки рівномірної збіжності Абеля ред.

Ознака рівномірної збіжності Абеля є критерієм рівномірної збіжності ряду функцій або невласних інтегралів для функцій, що залежать від параметрів. Це пов'язано з ознакою Абеля збіжності звичайного ряду дійсних чисел, і доведення опирається на ту ж техніку дискретного перетворення Абеля.

Ознака наступна: Нехай   рівномірно обмежена послідовність дійснозначних неперервних функцій на множині   така, що   для всіх   та натуральних чисел  , і нехай   — послідовність дійснозначних функцій таких, що ряд   рівномірно збігається на  . Тоді ряд   рівномірно збігається на  .

Ознака Абеля збіжності невласних інтегралів ред.

Ознака Абеля для нескінченного проміжку. Нехай функції   і   визначені на проміжку  . Тоді невласний інтеграл   є збіжним, якщо виконуються такі умови:

  1. Функція   є інтегровна на  .
  2. Функція   обмежена і монотонна.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. (Moretti, 1964, p. 91)

Література ред.

  • Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1800+ с.(укр.)
  • Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
  • Apostol, Tom M. (1974). Mathematical analysis (вид. 2nd). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1. 
  • Weisstein, Eric W. Abel's uniform convergence test(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.