В математиці , нерівність Шура, названа в честь німецького математика Іссаї Шура , стверджує, що для довільного додатнього дійсного числа
t
{\displaystyle t}
та довільних невід'ємних дійсних чисел
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
справджується наступна нерівність:
x
t
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
y
t
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
z
t
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
⩾
0
{\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-x)(y-z)+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0}
причому, рівність досягається тоді і тільки тоді , коли або
x
=
y
=
z
{\displaystyle x=y=z}
або два з чисел
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
рівні між собою, а третє є нулем.
Найбільш вживаним та відомим є випадок при
t
=
1
{\displaystyle t=1}
, коли дана нерівність набуває вигляду
x
3
+
y
3
+
z
3
+
3
x
y
z
⩾
x
2
y
+
x
2
z
+
y
2
x
+
y
2
z
+
z
2
x
+
z
2
y
{\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y}
Доведення
ред.
Оскільки нерівність симетрична відносно змінних
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
, то без обмеження загальності, вважатимемо
x
⩾
y
⩾
z
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}
. Тоді нерівність Шура стає рівносильною наступній нерівності:
(
x
−
y
)
[
x
t
(
x
−
z
)
−
y
t
(
y
−
z
)
]
+
z
t
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
⩾
0
{\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(z-x)(z-y)\geqslant 0}
яка виконується з огляду на те, що
x
t
(
x
−
z
)
⩾
x
t
(
y
−
z
)
⩾
y
t
(
y
−
z
)
{\displaystyle x^{t}(x-z)\geqslant x^{t}(y-z)\geqslant y^{t}(y-z)}
. Також, очевидно що рівність можлива лиш при
x
=
y
=
z
{\displaystyle x=y=z}
або
x
=
y
{\displaystyle x=y}
та
z
=
0
{\displaystyle z=0}
. Врахувавши симетричні варіанти, маємо, що в початковій нерівності рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або
x
=
y
=
z
{\displaystyle x=y=z}
або два з чисел
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
рівні між собою, а третє є нулем, що і треба було довести.
Узагальнення
ред.
Узагальненням нерівності Шура є наступна нерівність: для дійсних чисел
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
та невід'ємних дійсних
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
:
a
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
+
b
(
y
−
x
)
(
y
−
z
)
+
c
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
⩾
0
{\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)\geqslant 0}
яка справджується коли виконується хоч одна з наступних умов:
x
⩾
y
⩾
z
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}
та
a
⩾
b
{\displaystyle a\geqslant b}
x
⩾
y
⩾
z
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}
та
c
⩾
b
{\displaystyle c\geqslant b}
x
⩾
y
⩾
z
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}
та
a
+
c
⩾
b
{\displaystyle a+c\geqslant b}
x
⩾
y
⩾
z
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}
та
a
x
⩾
b
y
{\displaystyle ax\geqslant by}
x
⩾
y
⩾
z
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}
та
c
z
⩾
b
y
{\displaystyle cz\geqslant by}
x
⩾
y
⩾
z
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0}
та
a
x
+
c
z
⩾
b
y
{\displaystyle ax+cz\geqslant by}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
- сторони деякого трикутника
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
- квадрати сторін деякого трикутника
a
x
,
b
y
,
c
z
{\displaystyle ax,by,cz}
- сторони деякого трикутника
a
x
,
b
y
,
c
z
{\displaystyle ax,by,cz}
- квадрати сторін деякого трикутника
Існує опукла функція або монотонна
f
:
I
⟶
R
+
{\displaystyle f:I\longrightarrow R^{+}}
, де
I
{\displaystyle I}
- це інтервал , що містить числа
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
,
z
{\displaystyle z}
, причому
a
=
f
(
x
)
{\displaystyle a=f(x)}
,
b
=
f
(
y
)
{\displaystyle b=f(y)}
,
c
=
f
(
z
)
{\displaystyle c=f(z)}
В 2007 році румунський математик Валентин Ворніку показав, що наступне узагальнення нерівності Шура справджується:
Якщо
a
,
b
,
c
,
x
,
y
,
z
∈
R
{\displaystyle a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R} }
, причому
a
⩾
b
⩾
c
{\displaystyle a\geqslant b\geqslant c}
та або
x
⩾
y
⩾
z
{\displaystyle x\geqslant y\geqslant z}
чи
z
⩾
y
⩾
x
{\displaystyle z\geqslant y\geqslant x}
і
k
∈
Z
+
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
та
f
:
R
→
R
0
+
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}
є або опуклою, або монотонною, то справджується наступна нерівність:
f
(
x
)
(
a
−
b
)
k
(
a
−
c
)
k
+
f
(
y
)
(
b
−
a
)
k
(
b
−
c
)
k
+
f
(
z
)
(
c
−
a
)
k
(
c
−
b
)
k
≥
0
.
{\displaystyle {f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.\,}
Неважко переконатись, що при
x
=
a
,
y
=
b
,
z
=
c
,
k
=
1
,
f
(
n
)
=
n
r
{\displaystyle x=a,y=b,z=c,k=1,f(n)=n^{r}}
ця нерівність перетворюється в нерівність Шура.
Див. також
ред.
Посилання
ред.