Симетричний многочлен

Симетричний многочлен — многочлен від n змінних , що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки

справедлива рівність:

Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри многочленів від n змінних над кільцем R.

ПрикладиРедагувати

Для двох змінних x1, x2 прикладами симетричних многочленів є:

  •  
  •  

для трьох змінних x1, x2, x3 наступний многочлен теж буде симетричним

  •  

Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:

  •  

Натомість многочлен:

  •  

не є симетричним, оскільки після перестановки x1 і x2 одержується не рівний вихідному многочлен, x2 − x1.

Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:

  •  

Особливі види симетричних многочленівРедагувати

Степеневі симетричні многочлениРедагувати

Степеневими симетричними многочленами називаються суми k — их степенів змінних, тобто:

 

Елементарні симетричні многочлениРедагувати

Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:

 

і так далі до

 

Для довільного многочлена можна записати:

 

Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що   Для доведення цього факту, на множині всіх одночленів   можна ввести два відношення лінійного порядку: у першому випадку   якщо   для найменшого індексу j для якого  . Друге відношення є лексикографічним упорядкуванням, тобто   якщо   для найменшого індексу j для якого  .

Якщо P є ненульовим многочленом, то його можна записати, як суму одночленів виду   Нехай   є одночленом, що є найбільшим у першому впорядкуванні. Тоді підставляючи   і розписуючи одержаний вираз, як многочлен від   одержуємо, що найбільший у другому впорядкуванні одночлен одержаного многочлена має вигляд   Якщо тепер   то k=0, а тому і  

Рівності НьютонаРедагувати

Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:

 

Для перших кільком многочленів рівності мають вигляд:

 

Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:

 

Теорема ВієтаРедагувати

Докладніше: Теорема Вієта

Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:

 

тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:

 

Фундаментальна теорема про симетричні многочлениРедагувати

Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних   з коефіцієнтами з R.

ДоведенняРедагувати

Для симетричного многочлена   визначимо T = Th як множину усіх наборів чисел   для яких коефіцієнт   в   не рівний нулю. Визначимо розмір h, як   де   є елементом T для якого   є найбільшим з можливих,   — найбільше з можливих при даному   і т. д. Оскільки   є симетричним, то   якщо і тільки якщо кожна перестановка   належить T. Звідси випливає, що  . З використанням введеного поняття розміру всі елементи   можна впорядкувати: якщо h1 має розмір   і h2 має розмір   тоді h1 > h2 якщо для деякого   виконується   і   Елементи   що мають розмір (0, 0, …, 0) є константами, тобто елементами R.

Припустимо що   є розміром деякого симетричного многочлена   і  . Для невід'ємних цілих чисел d1, …, dn, розмір   рівний  . Взявши   одержуємо, що розмір h рівний  . Коефіцієнт при   в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент   такий, що g − ah має менший розмір ніж g.

Як наслідок для довільного симетричного   існують   і   такі, що   має розмір (0, 0, …, 0). Це завершує доведення теореми.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с
  • Прасолов В. В. Многочлены. — МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
  • Smith, Larry (1995). Polynomial invariants of finite groups. Research notes in mathematics 6. AK Peters. ISBN 9781568810539.