Метод варіації параметрів

Метод варіації параметрів або метод варіації довільної сталої (англ. variation of parameters, variation of constants) — це загальний метод для розв'язання неоднорідних лінійних звичайних диференціальних рівнянь. А саме знаходження часткового розв'язку неоднорідного рівняння, знаючи розв'язок відповідного однорідного рівняння.

Для неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зазвичай можливо з набагато меншими зусиллями знайти розв'язки, використовуючи інтегрувальний множник або невизначені коефіцієнти, хоча ці методи послуговуються евристиками, що вимагає вгадування і не спрацьовує для всіх неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

Варіацію параметрів можна також поширити і на диференціальні рівняння з частинними похідними, конкретно на неоднорідні задачі для рівнянь лінійної еволюції як-от рівняння теплопровідності, хвильове рівняння і рівняння вібрування пластини. У цих умовах, метод відомий як принцип Дюамеля.


Лінійне диференціальне рівняння першого порядкуРедагувати

 

Розв'яжемо відповідне ЛОР і запишемо його загальний розв'язок.

 .

Однорідне рівняння можна розв'язати довільним методом, наприклад методом розділення змінних:

 
 
 
 
 
 

Загальний розв'язок:

 

Тепер розв'яжемо неоднорідне рівняння:

 

Використовуючи метод варіації довільних сталих, ми отримаємо частковий розв'язок із загального:

 

Підставляючи частковий розв'язок в нелінійне рівняння ми можемо знайти C(x):

 
 
 
 

Тоді частковий розв'язок:

 

І загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння:

 
 

Звичайне диференціальне рівняння другого порядкуРедагувати

 

Припустимо, що нам відомі лінійно незалежні розв'язки   і   для відповідного однорідного рівняння

 

тоді ми шукаємо   і   такі, що

 

 

Тепер накладемо таку додаткову умову:

 

отже

 

 

Підставимо   і   в початкове рівняння, у результаті отримуємо

 

що спрощується до

 

Разом із додатковою умовою маємо систему

 

Для розв'язання щодо   і   використаємо правило Крамера, отримуємо

 

 

де  

це визначник Вронського, який є функцією тільки від   отже ми можемо проінтегрувати і отримати

 

 

довільні сталі інтегрування можна опустити, оскільки нам достатньо одного часткового розв'язку. Тепер, отримані   і   можна підставити для отримання часткового розв'язку

 

ПосиланняРедагувати

Weisstein, Eric W. Метод варіації параметрів(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.