ред.
Послідовність випадкових величин
{
X
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
мартинга́лом з дискретним часом , якщо виконуються умови
E
|
X
n
|
<
∞
,
n
∈
N
{\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }
E
[
X
n
+
1
∣
X
1
,
…
,
X
n
]
=
X
n
,
n
∈
N
{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }
Нехай задана також інша послідовність мартингалів
{
Y
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
{
X
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
{
Y
n
}
{\displaystyle \{Y_{n}\}\,\!}
{
Y
n
}
{\displaystyle \{Y_{n}\}\,\!}
E
|
X
n
|
<
∞
,
n
∈
N
{\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }
E
[
X
n
+
1
∣
Y
1
,
…
,
Y
n
]
=
X
n
,
n
∈
N
{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }
Найбільш загально нехай
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
ймовірнісний простір і
{
F
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
{
X
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
Процес
{
X
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
{
F
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in N}}
E
|
X
n
|
<
∞
,
n
∈
N
{\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }
E
[
X
n
+
1
∣
F
n
]
=
X
n
,
n
∈
N
{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }
Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:
E
[
X
n
∣
F
m
]
=
X
m
{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n}\mid {\mathcal {F}}_{m}]=X_{m}}
ред.
Нехай задано ймовірнісний простір
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
фільтрацією
{
F
t
}
t
∈
T
{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}
T
⊂
R
{\displaystyle T\subset \mathbb {R} }
випадковий процес
{
X
t
}
t
∈
T
{\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}
{
F
t
}
{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}
X
t
{\displaystyle X_{t}\,}
F
t
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
E
|
X
t
|
<
∞
,
t
∈
T
{\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T}
E
[
X
t
∣
F
s
]
=
X
s
,
∀
s
,
t
∈
T
,
s
≤
t
{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}
Якщо як
{
F
t
}
{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}
F
t
=
σ
{
X
s
∣
s
≤
t
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}}
{
X
t
}
{\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}
ред.
Нехай задана послідовність випадкових величин
{
Y
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
{
X
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
су́б(су́пер)мартингалом відносно
{
Y
n
}
{\displaystyle \{Y_{n}\}\,\!}
E
|
X
n
|
<
∞
,
n
∈
N
;
{\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;}
E
[
X
n
+
1
∣
Y
1
,
…
,
Y
n
]
≥
(
≤
)
X
n
,
n
∈
N
.
{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .}
Випадковий процес
{
X
t
}
t
∈
T
,
T
⊂
R
{\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T},\;T\subset \mathbb {R} }
{
F
t
}
{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}
X
t
{\displaystyle X_{t}\,\!}
F
t
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
E
|
X
t
|
<
∞
,
t
∈
T
{\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T}
E
[
X
t
∣
F
s
]
≥
(
≤
)
X
s
,
∀
s
,
t
∈
T
,
s
≤
t
{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}
Якщо як
{
F
t
}
{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}
F
t
=
σ
{
X
s
∣
s
≤
t
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}}
{
X
t
}
{\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}
Якщо
{
X
t
}
{\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}
E
X
t
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const} }
Якщо
{
X
t
}
{\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}
{
−
X
t
}
{\displaystyle \{-X_{t}\}\,\!}
Якщо
{
X
t
}
{\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
опукла функція , то
{
f
(
X
t
)
}
{\displaystyle \{f(X_{t})\}\,\!}
f
{\displaystyle f\,\!}
вгнута функція , то
{
f
(
X
t
)
}
{\displaystyle \{f(X_{t})\}\,\!}
Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика . — Київ : ВПЦ Київський університет , 2007. — 504 с.Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей . — 6-е изд. — Москва : Наука , 1988. — 446 с.(рос.) Гихман И. И. , Скороход А. В. , Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика . — Київ : Вища школа , 1988. — 436 с.(рос.) Гихман И. И. , Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов . — 2-е. — Москва : Наука , 1977. — 567 с.(рос.) G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press , 2001, ISBN 0-19-857223-9
David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press , 1991, ISBN 0-521-40605-6 
![{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7239325a1804374aae2671147dff67fde5183c3e)
![{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b361b034db399ad8da1abdc82ca60800b22d4d2)
![{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207b8c54261b90e757d844e46d9383d8a20e8a31)
![{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n}\mid {\mathcal {F}}_{m}]=X_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723950937452178ed720e50383ccdccc5afed771)
![{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9640e9ed9766c6a6cd64d8aa5e54d8261d17741f)
![{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1bdda1b765881bce68222bc431fb864d8cfb18c)
![{\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75a1f90f628f5890b37e0e64ea083da6f356de6)
