Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес, математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.

Мартингали з дискретним часомРедагувати

  • Послідовність випадкових величин   називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови
  1.  ;
  2.  .
  • Нехай задана також інша послідовність мартингалів  . Тоді послідовність випадкових величин   називається мартингалом відносно   або  -мартингалом, якщо
  1.  ;
  2.  .
  • Найбільш загально нехай  ймовірнісний простір і   задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин   називається мартингалом, якщо виконуються умови:
  1. Процес   є узгодженим з фільтрацією  .
  2.  ;
  3.  .

Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:

 .

Мартингали з неперервним часомРедагувати

Нехай задано ймовірнісний простір   з заданою на ньому фільтрацією  , де  . Тоді випадковий процес   називається мартингалом відносно  , якщо

  1.   вимірна відносно   для довільного  .
  2.  .
  3.  .

Якщо як   взята природна фільтрація  , то   називається просто мартингалом.

Суб(супер)мартингалиРедагувати

  • Нехай задана послідовність випадкових величин  . Тоді послідовність випадкових величин   називається су́б(су́пер)мартингалом відносно  , якщо
  1.  
  2.  
  • Випадковий процес   називається суб(супер)мартингалом відносно  , якщо
  1.   вимірна відносно   для довільного  .
  2.  .
  3.  .

Якщо як   взята природна фільтрація  , то   називається просто суб(супер)мартингалом.

ВластивостіРедагувати

  • Якщо   — мартингал, то  .
  • Якщо   — субмартингал, то   — супермартингал.
  • Якщо   є мартингалом, а  опукла функція, то   — субмартингал. Якщо  вгнута функція, то   — супермартингал.

ПрикладиРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-857223-9
  • David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6