де , а — число точок , що лежать у . Числа скінченні в силу скінченності будь-якого афінного або проєктивного многовиду скінченної розмірності над скінченним полем.
Локальною дзета-функцією називають функцію , тут — характеристика поля , — комплексна змінна.
де пробігає всі замкнуті точки , а — степінь . У разі, якщо , яке обговорювалося вище, то замкнуті точки — це класи еквівалентності точок , де дві точки еквівалентні, якщо вони спряжені над полем . Степінь — це степінь розширення поля , породженого координатами . Тоді логарифмічна похідна нескінченного добутку дорівнюваиме твірній функції
.
Якщо — еліптична крива, то в цьому випадку дзета-функція дорівнює
тоді гіпотеза Рімана для кривих над скінченними полями стверджує, що
Для локальної дзета-функції це твердження рівносильне тому, що дійсна частина коренів дорівнює .
Наприклад, для еліптичної кривої отримуємо випадок, коли існують рівно 2 корені, і тоді можна показати, що абсолютні значення коренів дорівнюють . Цей випадок еквівалентний теоремі Гассе про оцінку числа точок кривої в скінченному полі.
Тут — відділювана схема скінченного типу над скінченним полем , а — геометрична дія Фробеніуса на -адичній етальній когомології[en] з компактним носієм . Це показує, що дана дзета-функція є раціональною функцією .