Відкрити головне меню

У комплексному аналізі кількох змінних лемою Осґуда називається твердження про еквівалентність кількох означень голоморфної функції кількох змінних. Лема стверджує, що неперервна функція кількох комплексних змінних, що є голоморфною по кожній змінній окремо є голоморфною. Вимога неперервності у твердженні насправді не є необхідною, що є змістом сильнішої теореми Хартогса. Лема названа на честь американського математика Вільяма Фогга Осґуда, який довів її у 1899 році[1].

Зміст

ТвердженняРедагувати

Якщо комплексна функція   є неперервною у відкритій множині  і голоморфною по кожній змінній окремо, то вона є голоморфною в D.

ДоведенняРедагувати

Виберемо будь-яку точку   і замкнутий полікруг   Оскільки   є голоморфною по кожній змінній окремо, багаторазове застосування інтегральної формули Коші (для функцій однієї змінної) приводить до формули

 

справедливої ​​при всіх  

Для будь-якої фіксованої точки z підінтегральний вираз у цій формулі є неперервною функцією на компактній області інтегрування, тому повторний інтеграл можна замінити одним кратним інтегралом

 

Для фіксованої точки   ряд

 

є абсолютно і рівномірно збіжним при для   з області інтегрування у кратному інтегралі. Отже, після підстановки цього розкладу в інтеграл і зміни порядку сумування і інтегрування одержується розклад функції   у степеневий ряд виду

 

з коефіцієнтами

 

Отже  є голоморфною функцією.

ПриміткиРедагувати

  1. Osgood, William F. (1899). Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen. Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 52: 462–464. ISSN 0025-5831. doi:10.1007/BF01476172. 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати