Лема Осґуда

У комплексному аналізі кількох змінних лемою Осґуда називається твердження про еквівалентність кількох означень голоморфної функції кількох змінних. Лема стверджує, що неперервна функція кількох комплексних змінних, що є голоморфною по кожній змінній окремо є голоморфною. Вимога неперервності у твердженні насправді не є необхідною, що є змістом сильнішої теореми Хартогса. Лема названа на честь американського математика Вільяма Фогга Осґуда, який довів її у 1899 році.

Твердження

Якщо комплексна функція $f(z)$ є неперервною у відкритій множині $D\subset \mathbb {C} ^{n}$і голоморфною по кожній змінній окремо, то вона є голоморфною в D.

Доведення

Виберемо будь-яку точку $\omega \in D$ і замкнутий полікруг ${\bar {\Delta }}(\omega ,r).$ Оскільки $f(z)$ є голоморфною по кожній змінній окремо, багаторазове застосування інтегральної формули Коші (для функцій однієї змінної) приводить до формули

$f(z)=\left({\frac {1}{2\pi i}}\right)^{n}\int \limits _{|\omega _{1}-\xi _{1}|=r_{1}}{d\xi _{1} \over \xi _{1}-z_{1}}\ \int \limits _{|\omega _{2}-\xi _{2}|=r_{2}}{d\xi _{2} \over \xi _{2}-z_{2}}\ \ldots \ \int \limits _{|\omega _{n}-\xi _{n}|=r_{n}}{d\xi _{n} \over \xi _{n}-z_{n}}f(\xi )$

справедливої ​​при всіх $z\in \Delta (\omega ,r).$

Для будь-якої фіксованої точки z підінтегральний вираз у цій формулі є неперервною функцією на компактній області інтегрування, тому повторний інтеграл можна замінити одним кратним інтегралом

$f(z)=\left({\frac {1}{2\pi i}}\right)^{n}\int \limits _{|\omega _{i}-\xi _{i}|=r_{i}}{f(\xi )\ d\xi _{1}\ldots d\xi _{n} \over (\xi _{1}-z_{1})\ldots (\xi _{n}-z_{n})}.$

Для фіксованої точки $z\in \Delta (\omega ,r)$ ряд

${1 \over (\xi _{1}-z_{1})\ldots (\xi _{n}-z_{n})}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}=0}^{\infty }{(z_{1}-\omega _{1})^{k_{1}}\ldots (z_{n}-\omega _{n})^{k_{n}} \over (\xi _{1}-\omega _{1})^{k_{1}+1}\ldots (\xi _{n}-\omega _{n})^{k_{n}+1}}$

є абсолютно і рівномірно збіжним для будь-якої точки $\xi$ з області інтегрування у кратному інтегралі. Отже, після підстановки цього розкладу в інтеграл і зміни порядку сумування і інтегрування одержується розклад функції $f(z)$ у степеневий ряд виду

$\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\ldots ,k_{n}}(z_{1}-\omega _{1})^{k_{1}}\ldots (z_{n}-\omega _{n})^{k_{n}}$

з коефіцієнтами

$c_{k_{1},\ldots ,k_{n}}=\left({\frac {1}{2\pi i}}\right)^{n}\int \limits _{|\omega _{i}-\xi _{i}|=r_{i}}{f(\xi )\ d\xi _{1}\ldots d\xi _{1} \over (\xi _{1}-\omega _{1})^{k_{1}+1}\ldots (\xi _{n}-\omega _{n})^{k_{n}+1}}.$

Отже $f(z)$є голоморфною функцією.

Див. також

• Голоморфна функція
• Теорема Хартогса

Література

• Morrow, James; Kodaira, Kunihiko (2006) [1971], Complex manifolds, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4055-9, MR 0302937