Відкрити головне меню

Полікруг (також поліциліндр, полідиск) — геометричний багатовимірний об'єкт, що є добутком звичайних кругів. Полікруги часто використовуються в комплексному аналізі при вивченні функцій багатьох комплексних змінних, зокрема часто інтегральні теореми для багатьох змінних формулюються через інтеграли на границі полікруга.

ОзначенняРедагувати

Означення тут буде дано для комплексного простору   Аналоги всіх означень легко сформулювати також для простору  

Якщо позначити   відкритий круг з центром в точці z і радіусом r в комплексній площині, тоді відкритим полікругом розмірності n з мультирадіусом   і центром в точці   називається множина

 

Іншими словами відкритим полідиском з мультирадіусом   і центром в точці   є множина:

 

Подібним чином можна визначити і замкнутий полікруг:

 

Він є декартовим добутком замкнутих кругів.

Межа полікруга може бути записана так:

 

Також важливою є така частина межі, як кістяк полікруга, що визначений формулою:

 

Полікруг і багатовимірна куляРедагувати

Окрім полікруга, в   також визначена стандартна відкрита куля

 

де нормою є евклідова норма в  .

Коли  , відкриті полікруги і відкриті кулі не є біголоморфно еквівалентними тобто між ними не існує голоморфного бієктивного відображення з голоморфним оберненим відображенням. Цей факт був доведений Анрі Пуанкаре в 1907 році. Пуанкаре показав, що групи автоморфізмів відкритих куль і полікругів мають різні розмірності як групи Лі.

УзагальненняРедагувати

Очевидним узагальненням полікругів в комплексному аналізі є поліобласті :  що є добутком областей в комплексній площині. Замкнуті поліобласті, межі та кістяки в цьому випадку визначаються аналогічно до попереднього.

Полікруг є частковим випадком логарифмічно опуклої області Рейнхарта.

ЛітератураРедагувати

  • Steven G Krantz (Jan 1, 2002). Function Theory of Several Complex Variables. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2724-3. 
  • John P D'Angelo, D'Angelo P D'Angelo (Jan 6, 1993). Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces. CRC Press. ISBN 0-8493-8272-6.