Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — твердження у комплексному аналізі про те, що у випадку коли комплексна функція багатьох комплексних змінних буде аналітичною за кожним зі своїх аргументів, то вона також буде аналітичною загалом.

Твердження

Нехай $\Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}$ — відкрита множина, $a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {C}$ деякі числа. Позначимо $\Omega _{j,a}:=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,(a_{1},\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_{n})\in \Omega \right\}\subseteq \mathbb {C} .$ Для функції $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$ можна визначити функції $f_{j,a}:\Omega _{j,a}\rightarrow \mathbb {C}$ дія яких визначається $z\mapsto f(a_{1},\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_{n})$.

При цих позначеннях, якщо $\forall \,a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\forall \,j\in \mathbb {N} :1\leq j\leq n$ функції $f_{j,a}:\Omega _{j,a}\rightarrow \mathbb {C}$ є аналітичними, то і функція $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$ є аналітичною.

Див. також

• Лема Осґуда

Література

• Steven G. Krantz: Function Theory of Several Complex Variables. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1992.