Замкнений клас функцій алгебри логіки

За́мкнений клас фу́нкцій а́лгебри ло́гіки — така множина P функцій алгебри логіки, замикання якої відносно операції суперпозиції збігається з ним самим, тобто [P] = P.

Тобто, довільна функція, яку можна представити формулою з використанням функцій множини P, також входить в цю множину:

  • (замкнутість щодо заміни змінних);
  • (замкнутість щодо суперпозиції).

Замкненим класом функцій алгебри логіки є, наприклад, клас всіх функцій алгебри логіки.

В 1941 році Еміль Пост надав повний опис замкнених класів, який назвали решіткою Поста.

ПрикладиРедагувати

Особливо важливими замкнутими класами є так звані передповні класи:

  • клас функцій, що зберігають константу 0:
     .
  • клас функцій, що зберігають константу 1:
     .
  • клас самодвоїстих функцій:
     .
  • клас монотоних функцій:
     .
  • клас лінійних функцій:
     .

Ні один з передповних класів не міститься повністю в об'єднанні чотирьох інших класів; довільний замкнутий клас, відмінний від  , повністю міститься в хоча б в одному з п'яти передповних класів.

Іншими важливими замкнутими класами є:

  • Клас кон'юнкцій K, що є замиканням множини операцій  . Він являє собою множину функцій виду  .
  • Класс диз'юнкцій D, що є замиканням множини операцій  . Він являє собою множину функцій виду  .
  • Клас U функцій одної змінної, що містить тільки константи, заперечення та селектор (функцію, що тотожна одній зі своїх змінних).
  • Клас   функцій (m - натуральне число, більше одиниці), в яких для довільних m наборів, на яких функція рівна нулю, знайдеться змінна, яка теж рівна нулю на всіх цих наборах.
  • Класс   функцій, для яких виконується умова  .
  • Класс   функцій (m - натуральне число, більше одиниці), в яких для довільних m наборів, на яких функція рівна 1, знайдеться змінна, яка теж рівна 1 на всіх цих наборах.
  • Класс   функцій, для яких виконується умова  .

В 1941 році Еміль Пост показав, що довільний замкнутий клас є перетином скінченної кількості вищеописаних класів. Також Пост встановив, що довільний замкнутий клас може бути порождений скінченним базисом.

ВластивостіРедагувати

  • Перетин замкнутих класів є замкнутим класом.
  • Об'єднання замкнутих класів може не бути замкнутим класом.
  • Доповнення замкнутого класа булевих функцій до множини всіх булевих функцій   не є замкнутим класом.

Повні класиРедагувати

Множина A функцій алгебри логіки називається повною системою, якщо її замикання збігається з множиною всіх функцій (для двозначної логіки [A] = P2).

Критерій Поста формулює необхідну і достатнью умову повноти для системи функцій.

Система булевих функцій є повною тоді і тільки тоді, коли вона не міститься повністю ні в одному із передповних класів, тобто  ,  ,  ,  ,  .

Повна система називається базисом, якщо вона перестає бути повною при виключенні з неї довільної функції.

Прикладами повних систем із однієї функції є штрих Шефера та стрілка Пірса.

Широко відомими є такі повні системи булевих функцій:

Перша система використовується для представлення булевих функцій у вигляді диз'юнктивних та кон'юнктивних нормальных форм, друга — для представлення у вигляді поліномів Жегалкіна.

Максимальна кількість булевих функцій в базисі — 4.

Деколи говорять про систему функцій повну в деякому класі, а також про базис цього класу. Наприклад, систему   можна назвати базисом класа лінійних функцій.

ЛітератураРедагувати