Закон зміщення Віна

Закон зміщення Віна дає залежність довжини хвилі, на якій потік випромінювання енергії чорного тіла сягає свого максимуму, від температури чорного тіла.

Криві потоку випромінювання абсолютно чорних тіл з різною температурою. Наочно можна бачити, що при зростанні температури максимум випромінювання зсувається в ультрафіолетовий бік спетру (в область коротких довжин хвиль). Саме цю особливість й описує закон зміщення Віна.

Загальний вигляд закону зміщення Віна

У системі СІ закон має вигляд:

$\lambda _{\max }={\frac {0{,}002898}{T}}$

де T — температура в кельвінах, а $\lambda _{\max }$ — довжина хвилі з максимальною інтенсивністю у метрах. Коефіцієнт у даній формулі має при цьому розмірність [ м К].

Доведення закону

Для доведення можна використати вираз закону випромінювання Планка для абсолютно чорного тіла, записаного для довжин хвиль:

$B(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.$

Щоб знайти екстремуми цієї функції в залежності від довжини хвилі, її слід продиференціювати по $\lambda$ й прирівняти диференціал до нуля:

${\partial B \over \partial \lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\left({hc \over kT\lambda }{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}-5\right)=0$

З цієї формули відразу можна визначити, що похідна наближається до нуля коли $\lambda \rightarrow \infty$ чи коли $e^{hc/\lambda kT}\rightarrow \infty$, що справджується при $\lambda \rightarrow 0$. Проте, обидва ці випадки дають мінімум функції Планка $B(\lambda )$, яка для зазначених довжин хвиль сягає свого нуля (див. малюнок угорі). Тому аналіз слід продовжити лише з третім можливим випадком коли

${hc \over kT\lambda }{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)}-5=0$

Використовуючи заміну змінних $x={hc \over kT\lambda }$, дане рівняння можна перетворити на

${xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.$

Чисельний розв'язок цього рівняння дає :

$x=4.965114231744276\ldots$

Таким чином, враховуючи заміну змінних та значення сталих Планка, Больцмана та швидкості світла, довжина хвилі, на якій інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла сягає свого максимуму, визначається як

$\lambda _{\max }={hc \over x}{1 \over kT}={2.89776829\ldots \times 10^{-3} \over T}$,

де температура задана в кельвінах, а $\lambda _{\max }$ — у метрах.

Приклади

Згідно із законом зміщення Віна людське тіло з температурою 290 K (+17°C) має максимум теплового випромінювання на довжині хвилі 10 μм, що відповідає інфрачервоному діапазону випромінювання.

Реліктове випромінювання космосу має ефективну температуру 2,7 K й сягає свого максимуму на довжині хвилі 1 мм. Відповідно ця довжина хвилі належить вже до радіодіапазону.

Див. також

• Абсолютно чорне тіло
• Закон випромінювання Планка
• Закон Стефана-Больцмана

Посилання

• Світ фізики Еріка Вейстейна [Архівовано 4 червня 2016 у Wayback Machine.]

Джерела та примітки

• B. H. Soffer and D. K. Lynch, "Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision," Am. J. Phys. 67 (11), 946-953 1999.
• M. A. Heald, "Where is the 'Wien peak'?", Am. J. Phys. 71 (12), 1322-1323 2003.