Епіциклоїда

Епіцикло́їда (від грец. ὲπί — на, над, при і κυκλος — коло) — плоска крива, що утворюється певною точкою кола, яке котиться по зовнішній стороні іншого кола без проковзування.

Рівняння

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, її радіус рівний $R$, а радіус кола, що котиться по ньому рівний $r$, то епіциклоїда описується параметричними рівняннями відносно $\varphi$:

${\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y=(R+r)\sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}$

де $\alpha$ — кут повороту епіциклоїди відносно центру нерухомого кола, $\varphi$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами до осі $OX$. Можна ввести величину $\textstyle k={\frac {R}{r}}$, тоді рівняння виглядатимуть

${\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y=r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}$

Величина $k$ визначає форму епіциклоїди. При $k=1$ епіциклоїда утворює кардіоїду, а при $k=2$ — нефроїду.

• Епіциклоїда при різних значеннях параметра k:
• 

  $k=1$ (кардіоїда)

• 

  $k=2$ (нефроїда)

• 

  $k=3$

• 

  $k=4$

• 

  $k=2.1={\frac {21}{10}}$

• 

  $k=3.8={\frac {19}{5}}$

• 

  $k=5.5={\frac {11}{2}}$

• 

  $k=7.2={\frac {36}{5}}$

Див. також

• Список періодичних функцій

Посилання

• Епіциклоїда // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Epicycloid [Архівовано 24 листопада 2010 у Wayback Machine.], MathWorld
• «Epicycloid [Архівовано 24 листопада 2010 у Wayback Machine.]» by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007