Епсилон-мережа

ε-мережа (епсилон-мережа, ε-щільна множина) для підмножини $M$ метричного простору $X$ — множина $Z$ з того ж простору $X$ така, що для будь-якої точки $x\in M$ знайдеться точка $z\in Z$, віддалена від $x$ не більше ніж на ε.

Пов'язані визначення

• Метричний простір, у якому для кожного $\varepsilon >0$ існує скінченна $\varepsilon$-мережа, називається цілком обмеженим.
• Метрика $\rho$ на множині $X$ називається цілком обмеженою, якщо $(X,\rho )$ — цілком обмежений метричний простір.
• Сімейство метричних просторів $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ таких, що для будь-кого $\varepsilon >0$ існує натуральне число $N_{\varepsilon }$ таке, що кожен простір $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ допускає $\varepsilon >0$-мережу з не більш ніж $N_{\varepsilon }$ точок називається універсально цілком обмеженим.
  • Для таких сімейств виконується аналог теореми Громова про компактність.
• Топологічний простір, гомеоморфний цілком обмеженому метричному простору, називається метризованим цілком обмеженою метрикою.

Приклади

• Для стандартної метрики множина раціональних чисел є ε-мережею для множини дійсних чисел для будь-якого ε > 0.
• Множина цілих чисел є ε-мережею для множини дійсних чисел для $\varepsilon \geq 0{,}5$.

Властивості

• Метричний простір має еквівалентну цілком обмежену метрику тоді й лише тоді, коли він сепарабельний.
• Топологічний простір метризується цілком обмеженою метрикою тоді й лише тоді, коли він регулярний і задовольняє другій аксіомі зліченності.
• Метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли він повний і цілком обмежений. У трохи загальнішому формулюванні, теорема Гаусдорфа про компактність стверджує, що для відносної компактності підмножини $M$ метричного простору $X$ необхідно, а в разі повноти простору $X$ і достатньо, щоб за будь-якого $\varepsilon >0$ існувала скінченна ε -мережа з елементів множини $M$.

Доведення  

Необхідність

Нехай множина $M$ (відносно) компактна. Зафіксуємо $\varepsilon >0$ і розглянемо будь-який елемент $x_{1}\in M$. Якщо $\rho (x,x_{1})<\varepsilon$ для будь-якого $x\in M$, то скінченну ε-мережу з одного елемента вже побудовано. В іншому випадку знайдеться елемент $x_{2}\in M$ такий, що $\rho (x_{2},x_{1})\geqslant \varepsilon$. Далі є дві можливості. Або для будь-якого $x\in M$ принаймні одне з чисел $\rho (x,x_{1})$ або $\rho (x,x_{2})$ менше $\varepsilon$, і тоді скінченну ε-мережу з двох елементів уже побудовано, або знайдеться елемент $x_{3}\in M$ такий, що $\rho (x_{3},x_{1})\geqslant \varepsilon$, $\rho (x_{3},x_{2})\geqslant \varepsilon$, і так далі. Покажемо, що процес побудови точок $x_{1},x_{2},\ldots$ обірветься після скінченного числа кроків, що означає, що скінченну ε-мережу буде побудовано. Якби це було не так, то вийшла б послідовність $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots$, для якої $\rho (x_{i},x_{j})\geqslant \varepsilon$ при $i\neq j$. Але тоді ні сама послідовність $\{x_{n}\},$ ані жодна її підпослідовність не може збігатися, що суперечить компактності множини $M$. Отже, для компактної множини $M$ ми побудували скінченну ε-мережу, точки якої належать самій множині.

Достатність

За будь-якого $\varepsilon >0$ існує ε-мережа для множини $M$. Візьмемо числову послідовність ${\mathcal {f}}\varepsilon _{n}{\mathcal {g}}$, де $\varepsilon _{n}\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$ і для кожного $n$ побудуємо $\varepsilon _{n}$-мережу $N_{n}=\{z_{1}^{(n)},z_{2}^{(n)},\ldots ,z_{m_{n}}^{(n)}\}$. Розглянемо довільну послідовність $\{x_{n}\}\in M$. Оскільки $N_{1}$ є $\varepsilon _{1}$-мережею для $M$, то, яким би не був елемент $x\in M$, матимемо, що $\rho (x,z_{i}^{(1)})<\varepsilon _{1}$ для принаймні одного елемента $z_{i}^{(1)}\in N_{1}$. Тому будь-який елемент $x\in M$ потрапляє принаймні в одну кулю $S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1}),i=1,2,\ldots ,m_{1}$, тобто вся множина $M$, а тим більше вся послідовність $\{x_{n}\}$ розміститься в цих кулях. Оскільки число куль скінченне, а послідовність $\{x_{n}\}$ нескінченна, то знайдеться принаймні одна куля $S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1})$, яка міститиме нескінченну підпослідовність $\{x_{n}^{(1)}\}$ нашої послідовності. Це міркування можна повторити і для $N_{m},m=2,3,\ldots$. Складемо діагональну підпослідовність $x_{1}^{(1)},x_{2}^{(2)},\ldots ,x_{k}^{(k)},\ldots$. Покажемо, що ця послідовність збігається до себе. Оскільки $x_{k}^{(k)}$ і $x_{k+p}^{(k+p)}$ при $p>0$ входять до $k$-ї підпослідовності, а $k$-та підпослідовність міститься в кулі $S(z_{i}^{(k)},\varepsilon _{k})$, то $\rho (x_{k+p}^{(k+p)},x_{k}^{(k)})\leqslant \varepsilon _{k}\rightarrow 0$ при $k\rightarrow \infty$. За припущенням, простір $X$ повний. Тому зі збіжності до себе послідовності $\{x_{k}^{(k)}\}$ випливає її збіжність до певної границі, а це й доводить можливість виділення з будь-якої послідовності $\{x_{n}\}$ збіжної підпослідовності, тобто (відносна) компактність множини $M.$

• Повний метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли для будь-кого $\varepsilon >0$ в ньому існує компактна ε-мережа.

Література

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М. : Мир, 1986. — 752 с.