Дія групи

Ді́я групи $G$ на множині $X$ — це відображення

$G\times X\to X,\quad (g,x)\mapsto gx,$

що має властивості:

• $\ g(hx)=(gh)x$
• $\ ex=x$

для всіх $g,h\in G,x\in X,$ де $\ e$ — це нейтральний елемент $G.$

З аксіом групи випливає, що для кожного $g\in G,$ відображення множини $\ X$ до себе за формулою $x\mapsto gx$ є бієкцією або автоморфізмом $\ X.$

Типи дій

• Вільна, якщо для будь-яких $g,\;h\in G$ не рівних між собою і довільного $m\in M$ виконується $\ gm\neq hm$.
• Транзитивна якщо для будь-яких $m,\;n\in M$ існує $g\in G$ такий, що $gm=n$, тобто якщо $Gm=M$ для довільного $m\in M$.
• Ефективна, якщо для довільних $g,\;h\in G$ існує $m\in M$ такий, що $gm\neq hm$.

Орбіти елементів

Підмножина

$Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M$

називається орбітою елемента $m\in M$.

Дія групи $G$ на множині $M$ визначає на ній відношення еквівалентності

$\forall n,\;m\in M\;(n\sim _{G}m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;gn=m)\Longleftrightarrow (Gn=Gm).$

Стабілізатор

Підмножина

$G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G$

є підгрупою групи $G$ і називається стабілізатором елемента $m\in M$.

Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо $n\sim _{G}m$, то існує такий елемент $g\in G$, що

$G_{m}=gG_{n}g^{-1}.$

Кількість елементів в орбіті

Загальна кількість елементів в орбіті елемента $m\in M$ визначається за формулою:

$|Gm|=[G:G_{m}]$, де $G_{m}$ — стабілізатор елемента $m$ і $[G:G_{m}]$ — індекс підгрупи $G_{m}\subset G$, що для скінченних груп рівний ${\frac {|G|}{|G_{m}|}}$.

Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого $g\in G.$ Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=G_m  - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g₁x=g₂x то $g^{-1}{2}g{1}\in H$ і як наслідок g₁H=g₂H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g₁H=g₂H тоді $g^{-1}{2}g{1}\in H$ і згідно з означенням стабілізатора $g^{-1}{2}g{1}x=x,$ звідки випливає g₁x=g₂x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження

Якщо $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$, то

$|M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]$ — формула розбиття на орбіти.

Звідси випливають наступні тотожності:

1. $\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
2. $\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
3. Лема Бернсайда

Варіації та узагальнення

• Псевдогрупа перетворень

Див. також

• Представлення групи

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)