Відкрити головне меню

Внутрішня метрика — метрика простору, що визначається за допомогою функціоналу довжини, як інфімум довжин усіх шляхів (кривих), що з'єднують дану пару точок.

ОзначенняРедагувати

Нехай задано топологічний простір   і обраний клас деяких допустимих шляхів  , що міститься в множині всіх неперервних шляхів в  .

  • На просторі   заданий функціонал довжини, якщо на множині   задана функція  , що ставить у відповідність кожному   значення   (невід'ємне число або нескінченність), яке називається довжиною шляху  .
  • Метрика   на просторі   називається внутрішньою, якщо для будь-яких двох точок   відстань між ними визначається формулою  , де інфімум береться по всіх допустимих шляхах, що з'єднують точки  .

Пов'язані означенняРедагувати

  • Нехай   — дві довільні точки метричного простору   і   — довільне додатнє число. Точка   називається їх  -серединою, якщо  
  • Метричний простір   називається геодезичним, якщо будь-які дві точки   можна з'єднати найкоротшою.

ВластивостіРедагувати

  • Якщо   — простір з внутрішньої метрикою, то для будь-яких двох точок   і будь-якого   існує їх  -середина. У випадку, коли метричний простір   повний, має місце і зворотне твердження: якщо для будь-яких двох точок   і будь-якого   існує їх  -середина, то ця метрика внутрішня.
  • Повний метричний простір   з внутрішньої метрикою має наступну властивість: для будь-яких двох точок   і   знайдеться крива довжини   що з'єднує точки   і  . Крім того, в повному метричному просторі з внутрішньої метрикою довжина найкоротшої збігається з відстанню між її кінцями.
  • Теорема Хопфа — Рінова: Якщо   — локально компактний повний метричний простір з внутрішньої метрикою, то будь-які дві точки   можна з'єднати найкоротшою. Більш того, простір   є обмежено компактним (тобто всі обмежені замкнуті підмножини   є компактними).

ЛітератураРедагувати

  • Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4