Альтернативна алгебра

Альтернати́вна а́лгебра — алгебра в якій операція множення може бути не асоціативною, проте вимагається дещо слабша умова альтернативності:

$x(xy)=(xx)y\,$

$(yx)x=y(xx)\,$

для всіх х і у в алгебрі. Кожна асоціативна алгебра, очевидно, альтернативна, проте існують і неасоціативні альтернативні алгебри, прикладом яких є октоніони. Седеніони, є прикладом алгебри в якій не виконується умова альтернативності.

Абсолютно ідентично визначається поняття альтернативного кільця (і, відповідно, тіла і поля).

Асоціатор

З використанням асоціатора

$[x,y,z]=(xy)z-x(yz)\,$

тотожності, що визначають альтернативну алгебру приймуть вигляд

$[x,x,y]=0\,$

$[y,x,x]=0\,$

для будь-яких елементів $x$ і $y.$ Звідси, через полілінійність асоціатора, нескладно одержати, що

$[x,y,z]+[y,x,z]=0\,$

$[x,y,z]+[x,z,y]=0\,$

Таким чином, в альтернативній алгебрі асоціатор є альтернативною операцією:

$[x,y,z]=\mathrm {sgn} \,\sigma [\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z)]$

де $\sigma$ — перестановка елементів $x,y,z,$ $\mathrm {sgn} \,\sigma$ — парність цієї перестановки. Вірним є і обернене твердження: якщо асоціатор альтернативний, то кільце альтернативно. Саме через зв'язок з альтернативністю асоціатора альтернативні кільця одержали таку назву.

Аналогічно можна показати, що для альтернативності асоціатора досить виконання будь-яких двох з наступної тотожності:

$x(xy)=(xx)y\,$

$(yx)x=y(xx)\,$

$(xy)x=x(yx)\,$

звідки відразу слідує третя тотожність.

Властивості

• Теорема Артіна твердить, що підалгебра породжена довільними двома елементами альтернативної алгебри є асоціативною. Вірним є і обернене твердження. Також якщо три елементи $x,y,z$ альтернативної алгебри є асоціативними (тобто $[x,y,z]=0$) то алгебра породжена цими елементами є асоціативною.

• Тотожності Муфанг:

• $a(x(ay))=(axa)y\,$
• $((xa)y)a=x(aya)\,$
• $(ax)(ya)=a(xy)a\,$

виконуються в довільній альтернативній алгебрі.

• Також виконуються тотожності:

• $[xy,z,t]-y[x,z,t]-[y,z,t]x=[[x,y],z,t]+[x,y,[z,t]]\,$
• $[[x,y]^{4},z,t]=[x,y][[x,y]^{2},z,t]=[[x,y]^{2},z,t][x,y]=0.\,$

де [x, y] (два аргументи) позначає комутатор елементів x і y : [x, y] = xy -yx.

• В альтернативній алгебрі з одиницею, мультиплікативні обернені елементи, якщо вони існують, єдині. Для довільного оборотного елемента $x$ і будь-якого $y$ виконується рівність:

$y=x^{-1}(xy).\,$

Еквівалентно для всіх таких $x$ і $y$ асоціатор $[x^{-1},x,y]$ рівний нулю. Якщо $x$ і $y$ — оборотні то $xy$ теж є оборотним і $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$. Тому множина оборотних елементів є замкнутою щодо множення і утворює лупу Муфанг.

• Багато властивостей альтернативного кільця (алгебри) відрізняються від властивостей асоціативного кільця (алгебри) в аналогічних ситуаціях. Так, якщо R є альтернативним кільцем (алгеброю), а A і B — його праві ідеали, то їх добуток AB може не бути правим ідеалом, навіть якщо А — двосторонній ідеал в R; але добуток двосторонніх ідеалів альтернативного кільця (алгебри) є його двостороннім ідеалом.

Література

• Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным, — М.: Наука, 1978, 433 стр.
• Schafer, Richard D. (1995). An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5.