Відкрити головне меню

Альтернати́вна а́лгебра — алгебра в якій операція множення може бути не асоціативною, проте вимагається дещо слабша умова альтернативності:

для всіх х і у в алгебрі. Кожна асоціативна алгебра, очевидно, альтернативна, проте існують і неасоціативні альтернативні алгебри, прикладом яких є октоніони. Седеніони, є прикладом алгебри в якій не виконується умова альтернативності.

Абсолютно ідентично визначається поняття альтернативного кільця (і, відповідно, тіла і поля).

АсоціаторРедагувати

З використанням асоціатора

 

тотожності, що визначають альтернативну алгебру приймуть вигляд

 
 

для будь-яких елементів   і   Звідси, через полілінійність асоціатора, нескладно одержати, що

 
 

Таким чином, в альтернативній алгебрі асоціатор є альтернативною операцією:

 

де  перестановка елементів     — парність цієї перестановки. Вірним є і обернене твердження: якщо асоціатор альтернативний, то кільце альтернативно. Саме через зв'язок з альтернативністю асоціатора альтернативні кільця одержали таку назву.

Аналогічно можна показати, що для альтернативності асоціатора досить виконання будь-яких двох з наступної тотожності:

 
 
 

звідки відразу слідує третя тотожність.

ВластивостіРедагувати

  • Теорема Артіна твердить, що підалгебра породжена довільними двома елементами альтернативної алгебри є асоціативною. Вірним є і обернене твердження. Також якщо три елементи   альтернативної алгебри є асоціативними (тобто  ) то алгебра породжена цими елементами є асоціативною.
  • Тотожності Муфанг:
  •  
  •  
  •  
виконуються в довільній альтернативній алгебрі.
  • Також виконуються тотожності:
  •  
  •  
де [x, y] (два аргументи) позначає комутатор елементів x і y : [x, y] = xy -yx.
  • В альтернативній алгебрі з одиницею, мультиплікативні обернені елементи, якщо вони існують, єдині. Для довільного оборотного елемента   і будь-якого   виконується рівність:
 
Еквівалентно для всіх таких   і   асоціатор   рівний нулю. Якщо   і   — оборотні то   теж є оборотним і  . Тому множина оборотних елементів є замкнутою щодо множення і утворює лупу Муфанг.
  • Багато властивостей альтернативного кільця (алгебри) відрізняються від властивостей асоціативного кільця (алгебри) в аналогічних ситуаціях. Так, якщо R є альтернативним кільцем (алгеброю), а A і B — його праві ідеали, то їх добуток AB може не бути правим ідеалом, навіть якщо А — двосторонній ідеал в R; але добуток двосторонніх ідеалів альтернативного кільця (алгебри) є його двостороннім ідеалом.

ЛітератураРедагувати

  • Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным, — М.: Наука, 1978, 433 стр.
  • Schafer, Richard D. (1995). An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5.