Відкрити головне меню
Трактриса з початком в точці (4,0)

Трактриса (від лат. trahere — тягнути) крива, по якій рухається об'єкт, коли його тягнути по горизонтальній площині[en] за мотузку фіксованої довжини, якщо напрямок руху тягача є ортогональним до початкового положення мотузки та швидкість тягача нескінченно мала величина. Тому трактриса буде кривою погоні.

З геометричної точки зору трактрису визначають як трансцендентну криву, для якої довжина відрізка дотичної від точки дотику до точки перетину з фіксованою прямою є постійною величиною.

Ця крива була вперше запроваджена Клодом Перро в 1670, а потім вивчалась Ісааком Ньютоном (1676) і Християном Гюйгенсом (1692).

Зміст

Рівняння трактрисиРедагувати

 
Трактриса, отримана штовханням та перетягуванням відрізка.

Припустимо, об'єкт розташовано в точці (a,0) (або (4,0) як на малюнку, наведеному вище), а тягач знаходиться в початку координат, тоді довжиною мотузки a (4 на малюнку). Тягач починає рухатися уздовж осі y в додатному напрямку. У кожний момент руху мотузка буде дотичною до кривої y = y (x) описаного об'єкта, так що крива повністю визначається рухом тягача. Математично рух можна описати за допомогою диференціального рівняння:

 

з початковою умовою y (a) = 0, розв'язком якого є

 

Перша частина цього рішення також може бути записана, як

 

де arsech є оберненою гіперболічною функцією ареакосеканс.

Від'ємна гілка відповідає випадку, коли тягач переміщується у від'ємному напрямку від початку координат. Обидві гілки відносяться до трактриси та зустрічаються в особливій точці (a, 0).

Параметричний опис:

 
 

Визначення трактрисиРедагувати

Важливою ознакою трактриси є постійність відстані між точкою P на кривій та перетином дотичної в Р з асимптотою кривої.

Трактриса може бути розглянута в різні способи:

  1. Це геометричне місце точок центру гіперболічної спіралі при її розмотці (без ковзання) на прямій.
  2. Евольвента ланцюгової лінії, яка описує повністю гнучку, нееластичну, однорідну струну, прикріплену до двох точок, яку помістили у гравітаційне поле. Ланцюгова лінія задається рівнянням  .
  3. Траєкторія, яка визначається серединою заднього моста автомобіля, який тягне канат з постійною швидкістю і в постійному напрямку (на початку руху перпендикулярного до автомобіля).

Функція має горизонтальні асимптоти. Крива симетрична щодо осі Y. Радіус кривини  .

Поверхня обертання трактриси навколо своєї асимптоти (осі x), є псевдосферою. У 1868 році Еудженіо Бельтрамі вивчав псевдосферу, як поверхню постійної від'ємної гаусової кривини. Псевдосфера є локальною моделлю неевклідової геометрії. Ця ідея була здійснена Едвардом Казнером та Джеймсом Ньюменом у книзі «Математика та Уява», де вони показали іграшковий потяг, який перетягували за допомогою кишенькового годинника для створення трактриси.

Властивості трактрисиРедагувати

Площа, обмежена трактрисою і її асимптотою:

 

Довжина дуги, від точки (0 ; а) до довільної точки трактриси:

 

Радіус кривини:

 

Еволюта (лінія, що огинає нормалі):

  (ланцюгова лінія)

Практичне застосуванняРедагувати

В 1927 році була запатентована розробка — рупорний гучномовець, який заснований на припущенні, що фронт хвилі, яка проходить через рупор має сферичну форму з постійним радіусом. Ідея полягає в тому, щоб звести до мінімуму спотворення, викликані внутрішнім відбиттям звуку в рупорі. Отримана форма є поверхнею обертання трактриси.[1]

Обчислювальні машиниРедагувати

ПриміткиРедагувати

ПосиланняРедагувати