Правило паралелограма

Паралелограм.

В Евклідовій геометрії

Сума квадратів довжин сторін паралелограма рівна сумі квадратів довжин його діагоналей.

$\ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.$

В просторах зі скалярним добутком

В векторних просторах зі скалярним добутком, це правило виглядає так:

$\ 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}$

де

$\ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .$

В нормованих просторах

В нормованих векторних просторах де немає векторного добутку, але є норма (за визначенням), якщо вона задовільняє правило паралелограма, то для цього простору можна ввести скалярний добуток:

для дійсного простору

$\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},$ або ${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2},$ або ${\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.$

для комплексного простору

$\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.$

Вищенаведені формули називаються поляризаційною тотожністю.

Зрозуміло, що норма визначена через скалярний добуток наступним чином $\ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle$ задовільнятиме ці тотожності.

Поляризаційна тотожність

Поляризаційна тотожність часто використовується для перетворення банахових просторів в гільбертові.

Узагальнення

Якщо B — симетрична білінійна форма в векторному просторі, а квадратична форма Q визначена як

$\ Q(v)=B(v,v)$

тоді

${\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(u-v),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(u-v).\end{array}}$

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)