Теорема Гірсанова
У теорії ймовірностей теорема Гірсанова (названа на честь Ігоря Володимировича Гірсанова ) описує, як змінюється динаміка стохастичних процесів при зміні вихідної міри на еквівалентну ймовірнісну міру. [1] Теорема особливо важлива в теорії фінансової математики, оскільки вона демонструє як перетворити міру, яка описує ймовірність того, що базовий інструмент (такий як ціна акції або відсоткова ставка ) прийме певне значення або значення нейтральної за ризиком міри, яка є дуже корисним інструментом для визначення цін на похідні фінансові інструменти.
Історія
ред.Перші результати були доведені Камероном—Мартіном у 1940-х роках та Гірсановим у 1960 році [2]. Згодом вони були поширені на більш загальні класи процесів, що завершилися загальною формою Ленгларта (1977). [3]
Значущість
ред.Теорема Гірсанова грає важливу роль в загальній теорії випадкових процесів, так як вона демонструє, що якщо є абсолютно неперервної мірою щодо , то кожен -семімартінгал є -семімартингалом.
Твердження
ред.Спочатку сформулюємо теорему для особливого випадку, коли стохастичний процес, що лежить в основі, є процесом Броунівского руху. Цього окремого випадку достатньо для ціноутворення, що нейтралізує ризик, у моделі Блека—Шоулза та у багатьох інших моделях (наприклад, в усіх неперервних моделях).
Нехай є процесом Вінера на ймовірнісному просторі . Нехай є вимірним процесом, адаптованим до природної фільтрації процесу Вінера з .
Визначимо експоненту Долеана—Даде по відношенню до
де — це квадратична варіація . Якщо є строго додатним мартингалом, на ньому можна визначити ймовірнісну міру таку, що маємо похідну Радона—Нікодима
- .
Тоді для кожного міра звужується на , що еквівалентно звужується на . Крім того, якщо — локальний мартингал за , то процес
є локальним мартингалом на фільтрованому просторі ймовірностей .
Висновок
ред.Якщо — неперервний процес і — броунівський рух за мірою , то
— це броунівський рух за .
Справа в тому, що неперервний; за теоремою Гірсанова це — локальний мартингал, а шляхом обчислення квадратичної варіації
за характеристикою Леві броунівського руху випливає, що — броунівський рух.
Коментарі
ред.У багатьох статтях процес визначається за допомогою
Якщо має таку форму, то достатньою умовою для бути мартингалом — це умова Новікова, яка цього вимагає
Стохастична експонента — це процес , який вирішує стохастичне диференціальне рівняння
Побудована вище міра не еквівалентна на , оскільки це було б тільки в тому випадку, якщо похідна Радона—Нікодима була б рівномірно інтегрованим мартингалом, але описаний вище експоненціальний мартингал не є таким (для ).
Застосування у фінансах
ред.У фінансах теорема Гірсанова використовується щоразу, коли потрібно вивести динаміку активу за новою ймовірнісною мірою. Найвідоміший випадок — перехід від історичної міри до нейтральної до ризику міри , яка виконується у моделі Блека—Шоулза за похідною Радона—Нікодима:
де позначає миттєву безризикову ставку, дріфт активу та його волатильність. Іншими класичними застосуваннями теореми Гірсанова є квантові коригування та розрахунок дріфтів форвардів за моделлю ринку LIBOR .
Дивись також
ред.Посилання
ред.- ↑ Musiela, M.; Rutkowski, M. (2004). Martingale Methods in Financial Modelling. New York: Springer. ISBN 3-540-20966-2.
- ↑ Girsanov, I. V. (1960). On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitution of measures. Theory of Probability and Its Applications. 5 (3): 285—301. doi:10.1137/1105027.
- ↑ Lenglart, É. (1977). Transformation des martingales locales par changement absolument continu de probabilités. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit. 39 (1): 65—70. doi:10.1007/BF01844873.