Теорема про рівність голоморфних функцій

В комплексному аналізі, теорема про рівність для голоморфних функцій стверджує, що для функцій f і g, що є голоморфними в області D (відкритій, зв'язаній підмножині), якщо f = g на деякій підмножині $T\subseteq D$, що має граничну точку в області, то f = g в усій області D.

Таким чином, голоморфна функція повністю визначається її значеннями на (можливо, досить малому) околі в D. Ця властивість суттєво відрізняє голоморфні функції від дійсних диференційовних.

Поняття зв'язності на області D є необхідним. Наприклад, якщо D складається з двох відкритих множин із пустим перетином то $f$ може бути $0$ на одній відкритій множині і $1$ на іншій, тоді як $g$ може бути $0$ на одній і $2$ на іншій.

Доведення

Лема

Якщо дві голоморфні функції f і g в області D є рівними на множині T, яка має граничну точку c у D, то f = g на деякому крузі в $D$ з центром у точці $c$.

Доведення леми

Щоб довести це, досить показати, що $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$ для всіх $n\geq 0$.

Якщо це не так, нехай m буде найменшим невід'ємним цілим числом з $f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)$. Зважаючи на голоморфність в деякому відкритому крузі U з центром у точці c:

${\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z)\end{aligned}}$

Враховуючи неперервність, h не є рівною нулю у деякому відкритому крузі B з центром у точці c. Але тоді f − g ≠ 0 на проколотому крузі B − {c}. Це суперечить припущенню, що c є граничною точкою множини {f = g}.

Ця лема показує, що для комплексного числа a прообраз f⁻¹(a) є дискретною (і, отже, зліченною) множиною, за винятком якщо f = a.

Доведення теореми

Введемо множину, на якій $f$ та $g$ мають однаковий розклад у ряд Тейлора:

$S=\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}.$

Достатньо показати, що множина $S$ є непорожньою, відкритою та замкнутою. Тоді через зв'язність $D$, $S$ має бути рівною $D$, що означає $f=g$ на $S=D$.

За лемою $f=g$ в деякому крузі з центром $c$, розташованому в $D$ , тому вони мають той же ряд Тейлора в $c$, звідки $c\in S$ і $S$ є непорожньою.

Оскільки $f$ і $g$ є голоморфними на $D$, $\forall w\in S$, ряди Тейлора для $f$ і $g$ в околі $w$ мають ненульові радіуси збіжності. Тому на деякому відкритому крузі $B_{r}(w)$ ці функції рівні, а тому рівні і їх розклади у ряд Тейлора в усіх цих точках, тож усі точки у $B_{r}(w)$ також належать S. Тому S є відкритою множиною.

Із голоморфності $f$ і $g$ випливає, що вони мають голоморфні похідні, тому всі $f^{(n)},g^{(n)}$ є неперервними. Це означає, що $\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}$ є замкнутою для всіх $k$. Оскільки $S$ є перетином замкнутих множин, то вона теж є замкнутою множиною.

Випадок функцій багатьох змінних

Для функцій кількох комплексних змінних еквівалентне твердження є невірним. Наприклад функції $f_{1}(z_{1},z_{2})=z_{1}z_{2}$ і $f_{2}(z_{1},z_{2})=0$ є рівними на множині $z_{1}=0$ або $z_{2}=0$, проте вони не є рівними на $\mathbb {C} ^{2}$.

Твердження теореми у цьому випадку є таким: якщо для функцій f і g, що є голоморфними у області D, f = g на деякій відкритій підмножині $T\subseteq D$, то f = g в усій області D.

Доведення у цьому випадку буде фактично аналогічним до попереднього. Можна ввести множину $S$ точок, в яких всі часткові похідні функцій є рівними (і відповідно розклади в ряд Тейлора є однаковими). За умовою ця множина є непуста, оскільки $T\subseteq S$. Також, якщо дві голоморфні функції мають однаковий розклад у ряд Тейлора в деякій точці, то вони є рівними в деякому околі цієї точки. Тож разом із кожною точкою множині $S$ належить і деякий її окіл, тож $S$ є відкритою множиною.

Еквівалентно до попереднього також $S$ є перетином замкнутих множин, на яких часткові похідні є рівними. Отже $S$ є також замкнутою множиною. Оскільки D є зв'язною, то f = g в усій області D.

Література

• Ablowitz, Mark J.; Fokas A. S. (1997). Complex variables: Introduction and applications. Cambridge, UK: Cambridge University Press. с. 122. ISBN 0-521-48058-2.