Теорема Міттаг-Лефлера
Теорема Міттаг-Лефлера — в комплексному аналізі твердження про властивості мероморфних функцій, що визначає існування мероморфних функцій із заданими полюсами і головними частинами ряду Лорана, а також стверджує для довільних мероморфних функцій існування аналогу розкладу раціональної функції на прості дроби.
Твердження теореми
ред.Нехай задана скінченна або зліченна послідовність різних комплексних чисел для яких і Нехай також задані функції:
які можна інтерпретувати як головні частини рядів Лорана деяких мероморфних функцій в точках
Тоді існує мероморфна функція для якої є множиною всіх полюсів і головна частина функції в точці є рівною
Якщо ж деяка мероморфна функція має своїми полюсами множину (з властивостей мероморфних функцій випливає, що ця множина є не більш, ніж зліченною) і головна частина функції в точці є рівною то для цієї функції справедливий розклад Міттаг-Лефлера:
- де — деяка ціла функція, а — деякі многочлени і ряд в правій стороні рівності збігається рівномірно на компактних множинах. В даному випадку ряд називається збіжним (рівномірно збіжним) на компактній множині, якщо лише скінченна кількість його доданків має полюси на цій множині і після видалення цих доданків інші збігаються (рівномірно збігаються) на множині.
Доведення
ред.Без обмеження загальності можна вважати, що В іншому разі замість функції можна розглядати функцію
Зафіксуємо дійсне число і позначимо Оскільки функція є голоморфною в крузі і є підмножиною цього круга то можна рівномірно на в наблизити многочленом Тейлора:
де степінь многочлена ми виберемо так, щоб для всіх було
При такому виборі розглянемо ряд .
Для довільної компактної множини існує натуральне число таке що
Тоді всі члени ряду є голоморфними на , і цей ряд мажорується збіжною геометричною прогресією
Отже даний ряд збігається на рівномірно на і за теоремою Вейєрштраса його сума є голоморфною функцією в .
Функція відрізняється від на раціональну функцію
що має полюси в точках і відповідні головні частини рівні
Тобто на множині функція має задані полюси і головні частини. Так як — довільна компактна множина то — мероморфнамфункція і має в задані полюси і головні частини.
Якщо тепер — довільна мероморфна функція, що немає полюса в нулі (в іншому разі знову ж можна розглядати функцію ) то позначивши її полюси так що і побудувавши, як і вище суму ряду отримуємо, що різниця є цілою функцією, що завершує доведення.
Приклади розкладу Міттаг-Лефлера
ред.Нижче подні приклади розкладу Міттаг-Лефлера для деяких мероморфних функцій:
Див. також
ред.Посилання
ред.- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Mittag-Leffler theorem, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Джерела
ред.- Шабат, Б. В. (1976), Введение в комплексный анализ, ч. I, «Наука»
- Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X