Теорема Зейферта — Ван Кампена

Теорема Зейферта — ван Кампена виражає фундаментальну групу топологічного простору через фундаментальні групи двох відкритих підмножин, що покривають простір.

Названа на честь Герберта Зейферта і Егберта ван Кампена.

Формулювання

Для двох підмножин

Найчастіше формулювання теореми дається для покриття простору двома відкритими множинами. Нехай $X$ — топологічний простір, і $V,U\subset X$ — дві лінійно зв'язні відкриті множини для яких перетин $W=V\cap U$ також є лінійно зв'язною множиною і $X=V\cup U$. Зафіксуємо точку $p\in W$. Включення

$W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X$

породжують гомоморфізми відповідних фундаментальних груп

$I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)$, $J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)$, $\pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)$ і $\pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)$.

Згідно теореми Зейферта — ван Кампена, ці чотири гомоморфізми задають розшарований кодобуток у категорії груп, тобто

$\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V,p).$

Іншими словами фундаментальна група $\pi _{1}(X,p)$ є вільним добутком з амальгамацією фундаментальних груп $\pi _{1}(U,p),\ \pi _{1}(V,p)$ щодо відображень $I,\ J.$

Зауваження

• Якщо дані задання груп $\pi _{1}(U,p)$ і $\pi _{1}(V,p)$

  ${\begin{aligned}\pi _{1}(U,p)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,p)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\rangle \\\end{aligned}}$

і $w_{1},\cdots ,w_{s}$ — твірні групи $\pi _{1}(W,p)$, то

$\pi _{1}(X,p)=\left\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .$

Для довільної кількості підмножин

Більш загально нехай $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ є відкритим покриттям простору $X$ і всі $U_{\alpha }$ є лінійно зв'язними як і всі можливі їх попарні перетини $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$; нехай також існує точка $p,$ що належить усім множинам $U_{\alpha }.$

Кожне включення $U_{\alpha }\hookrightarrow X$ породжує гомоморфізм фундаментальних груп $H_{\alpha }\ :\pi _{1}(U_{\alpha },p)\to \pi _{1}(X,p)$. Ці гомоморфізми можна продовжити на вільний добуток $*_{\alpha }\pi _{1}(U_{\alpha },p)$ фундаментальних груп одержавши таким чином гомоморфізм $H\ :*_{\alpha }\pi _{1}(U_{\alpha },p)\to \pi _{1}(X,p).$ Для цього достатньо задати значення гомоморфізму для всіх генераторів вільного добутку. Але кожен такий генератор є елементом деякої групи $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$ і його образ при гомоморфізмі $H$ за означенням є рівним його образу для відповідного гомоморфізму $H_{\alpha }.$

Згідно теореми Зейферта — ван Кампена гомоморфізм $H$ із вільного добутку $*_{\alpha }\pi _{1}(U_{\alpha },p)$ фундаментальних груп просторів $U_{\alpha }$ у фундаментальну групу $\pi _{1}(X,p)$ є сюр'єктивним.

Також кожне включення $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\hookrightarrow U_{\alpha }$ породжують гомоморфізми фундаментальних груп $H_{\alpha \beta }\ :\ \pi _{1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta },p)\to \pi _{1}(U_{\alpha },p)$. Оскільки для гомоморфізмів фундаментальних груп $H_{\alpha }\circ H_{\alpha \beta }=H_{\beta }\circ H_{\beta \alpha }$ то для будь-якого $g\in \pi _{1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta },p)$ також $H_{\alpha }\circ H_{\alpha \beta }(g)=H_{\beta }\circ H_{\beta \alpha }(g)$ і за означеннями $H\circ H_{\alpha \beta }(g)=H\circ H_{\beta \alpha }(g).$ Якщо розглядати $H_{\alpha \beta }(g),\ H_{\beta \alpha }(g)$ як елементи вільного добутку $*_{\alpha }\pi _{1}(U_{\alpha },p)$ то звідси також випливає, що елементи $H_{\alpha \beta }(g)\cdot (H_{\beta \alpha })^{-1}(g)$ для всіх можливих значень індексів $\alpha ,\beta$ і елементів $g\in \pi _{1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta },p)$ належать ядру гомоморфізму $H$.

У багатьох важливих випадках ядро гомоморфізму $H$ породжується елементами виду $H_{\alpha \beta }(g)\cdot (H_{\beta \alpha })^{-1}(g)$. Однією з найпростіших і найпоширеніших умов для цього є якщо не лише попарні перетини але і перетини довільних трьох множин $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$ є лінійно зв'язними.

Друга частина теореми Зейферта — ван Кампена стверджує, що у цьому випадку ядро гомоморфізму $H$ породжується елементами виду $H_{\alpha \beta }(g)\cdot (H_{\beta \alpha })^{-1}(g)$. Іншими словами фундаментальна група $\pi _{1}(X,p)$ тоді є рівною вільному добутку з амальгамацією фундаментальних груп $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$ щодо гомоморфізмів $H_{\alpha \beta }.$

Доведення

Сюр'єктивність

Нехай для двох кривих $f_{1}$ і $f_{2}$ для яких кінцева точка першої є рівною початковій точці другої (зокрема якщо обидві криві є петлями із початком у одній точці) $f_{1}\cdot f_{2}$ позначає добуток (послідовний обхід кривих), $[f_{1}]$ — клас гомотопій кривої із фіксованими кінцевими точками, а ${\bar {f}}_{1}$ — обернену криву.

Нехай $g\ :[0,1]\to X,\ g(0)=g(1)=p$ — петля у просторі $X$ із початком у точці $p$ і $[g]\in \pi _{1}(X,p)$ — її клас гомотопій який є елементом фундаментальної групи. Сюр'єктивність у твердженні теореми є еквівалентною існуванню таких петель $g_{1},\ldots ,g_{n},$ що образ кожної $g_{i}$ повністю належить якійсь із відкритих множин $U_{\alpha }$ і $[g]=[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}].$

Прообрази $g^{-1}(U_{\alpha })$ відкритих множин $U_{\alpha }$ при відображенні $g$ утворюють відкрите покриття одиничного відрізка. Кожна точка $x\in [0,1]$ належить деякій із цих відкритих множин разом із деяким своїм замкнутим околом $[x-\varepsilon _{x},x+\varepsilon _{x}]$ (тобто $g([x-\varepsilon _{x},x+\varepsilon _{x}])\subset U_{\alpha }$ для деякої множини $U_{\alpha }$). Відкриті відрізки $(x-\varepsilon _{x},x+\varepsilon _{x})$ утворюють відкрите покриття одиничного відрізка і з компактності випливає існування скінченної кількості таких відрізків, що утворюють відкрите покриття. Тоді скінченна кількість кінцевих точок цих відрізків розбиває $[0,1]$ на скінченну кількість замкнутих інтервалів образ кожного з яких при відображенні $g$ належить якійсь із множин $U_{\alpha }$. Два сусідні інтервали можуть при цьому відображатись у одну множину і їх можна об'єднати хоч це і не має значення для цього доведення. Важливим є саме існування точок $0=s_{0}<s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{n}=1$ для яких $g([s_{i},s_{i+1}])\subset U_{i}$ для деяких множин $U_{i}$ (загалом різних для різних інтервалів).

Позначимо тепер $f_{i}$ криву яка є рівною репараметризації кривої $g([s_{i-1},s_{i}])$ на одиничний відрізок. Тоді $g$ є гомотопною добутку $f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{n}$ і образ кожної $f_{i}$ належить деякій $U_{i}$. Згідно із властивостями гомотопії кожна крива $f_{i}$ є гомотопною добутку $f_{i}\cdot e_{i}$ де $e_{i}$ позначає сталу криву із єдиним значенням $x_{i}=f_{i}(1)=g(s_{i})$. За побудовою $x_{i}$ належить двом множинам $U_{i}$ і $U_{i+1}$. Згідно умови множина $U_{i}\cap U_{i+1}$ є лінійно зв'язною і містить точку $p$ тому у $U_{i}\cap U_{i+1}$ існує крива $\gamma _{i}$, що з'єднує $p$ і $x_{i}$ . Згідно властивостей гомотопій кривих тоді стала крива $e_{i}$ є гомотопною добутку ${\bar {\gamma }}_{i}\cdot \gamma _{i}$ і з транзитивності гомотопії $f_{i}$ є гомотопною $f_{i}\cdot {\bar {\gamma }}_{i}\cdot \gamma _{i}.$ Оскільки добутки гомотопних кривих є гомотопними то $f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{n}$ і відповідно $g$ є гомотопним добутку $f_{1}\cdot {\bar {\gamma }}_{1}\cdot \gamma _{1}\cdot f_{2}\cdot {\bar {\gamma }}_{2}\cdot \gamma _{2}\cdot \ldots \cdot {\bar {\gamma }}_{n-1}\cdot \gamma _{n-1}\cdot f_{n}.$Нехай тепер $g_{1}=f_{1}\cdot {\bar {\gamma }}_{1},\ g_{n}=\gamma _{n-1}\cdot f_{n}$ і $g_{i}=\gamma _{i-1}\cdot f_{i}\cdot {\bar {\gamma }}_{i}$ для $1<i<n$. Тоді із асоціативності добутків кривих щодо гомотопічної еквівалентності $g$ є гомотопною $g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}.$ Оскільки всі $g_{i}$ є петлями із початком у точці $p$ то кожен клас гомотопії $[g_{i}]$ є елементом фундаментальної групи $\pi _{1}(X,p)$ і також $[g]=[g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}]=[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}].$ Оскільки образ кожної петлі $g_{i}$ міститься у множині $U_{i}$ (адже за побудовою $f_{i}$ і $\gamma _{i}$ з ${\bar {\gamma }}_{i-1}$ належать $U_{i}$) це завершує доведення сюр'єктивності.

Твердження про вільний добуток із амальгамаціями

Нехай тепер додатково виконується умова лінійної зв'язності усіх перетинів трьох множин $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$, $[g]\in \pi _{1}(X,p)$ є елементом фундаментальної групи і $[g]=[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ де образ кожної $g_{i}$ повністю належить якійсь із відкритих множин $U_{i}$. Відповідно у цьому випадку $[g_{i}]$ можна розглядати як образ елемента відповідної $\pi _{1}(U_{i},p)$ при гомоморфізмі $H$, а сам добуток як запис (можливо незведений) елемента вільного добутку груп $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$.

Розглянемо тепер загальну множину формальних добутків виду $[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ де кожен $[g_{i}]$ є елементом деякої множини $\pi _{1}(U_{i},p)$.

• Якщо для двох сусідніх елементів $g_{i},\ g_{i+1}$ їх образи належать одній множині (тобто $U_{i}=U_{i+1}$ ) то очевидно $[g_{i}\cdot g_{i+1}]=[g_{i}]\cdot [g_{i+1}]$ як елементи $\pi _{1}(U_{i},p)$ і якщо замінити $[g_{1}]\cdot \ldots \cdot [g_{i-1}]\cdot [g_{i}]\cdot [g_{i+1}]\cdot [g_{i+2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ на $[g_{1}]\cdot \ldots \cdot [g_{i-1}]\cdot [g_{i}\cdot g_{i+1}]\cdot [g_{i+2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ то одержиться лише інший запис елемента вільного добутку груп $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$.

• Також якщо образ $g_{i}$ належить перетину $U_{i}\cap U_{\alpha }$ деяких двох множин із умови теореми то можна розглядати $[g_{i}]$ як елемент $\pi _{1}(U_{i},p)$ і $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$. При такій заміні одержується інший елемент вільного добутку груп (адже $[g_{i}]$ як елемент $\pi _{1}(U_{i},p)$ і елемент $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$ є елементами різних груп і відповідно різними елементами вільного добутку) але один елемент вільного добутку із амальгамаціями адже якщо розглядати $[g_{i}]$ у групі $\pi _{1}(U_{i}\cap U_{\alpha },p)$ то його образи при гомоморфізмах $H_{i\alpha }$ і $H_{\alpha i}$ будуть елементами $[g_{i}]$ у групах $\pi _{1}(U_{i},p)$ і $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$ відповідно. Оскільки згідно з означенням вільного добутку із амальгамаціями елемент $H_{i\alpha }([g_{i}])\cdot (H_{\alpha i})^{-1}([g_{i}])$ у такому добутку є рівний одиничному елементу, то заміна у $[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ елемента $[g_{i}]$ з групи $\pi _{1}(U_{i},p)$ на $[g_{i}]$ у $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$ не змінює елемент у вільному добутку із амальгамаціями.

Нехай тепер вираз виду $[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ де кожен $[g_{i}]$ є елементом деякої групи $\pi _{1}(U_{i},p)$ одержується із виразу $[h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]$ де кожен $[h_{j}]$ є елементом деякої групи $\pi _{1}(U_{j}',p)$ за допомогою скінченної послідовності замін із двох попередніх параграфів або їх обернених. Тоді $[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ і $[h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]$ називаються еквівалентними. Із попереднього еквівалентні послідовності визначають єдиний елемент у вільному добутку із амальгамаціями. Також якщо $[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ і $[h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]$ є еквівалентними і всі класи гомотопії розглядати у $\pi _{1}(X,p)$ (за допомогою гомоморфізму $H$) то дві послідовності задають один елемент у $\pi _{1}(X,p)$ адже перший тип заміни не змінює елемента у $\pi _{1}(X,p)$ оскільки $[g_{i}\cdot g_{i+1}]=[g_{i}]\cdot [g_{i+1}]$ також і якщо всі криві розглядати у $X$, а друга заміна не змінює елемента у $\pi _{1}(X,p)$ оскільки $H_{i}\circ H_{i\alpha }([g_{i}])=H_{\alpha }\circ H_{\alpha i}([g_{i}]).$

Оскільки дві еквівалентні послідовності визначають один елемент вільного добутку із амальгамаціями і один елемент групи $\pi _{1}(X,p)$ то залишається довести, що якщо $[g]=[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]=[h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]$, де добутки задовольняють вказані вище умови, то відповідні послідовності є еквівалентними.

Згідно умови у цьому випадку добутки петель $g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}$ і $h_{1}\cdot h_{2}\cdot \ldots \cdot h_{m}$ (для якихось репараметризацій) є гомотопними у $X$ за допомогою деякої гомотопії $F\ :\ [0,1]\times [0,1]\to X$.

Із компактності $[0,1]\times [0,1]$ подібно як у доведенні сюр'єктивності можна знайти послідовності $0=s_{0}<s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{k}=1$і $0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{l}=1$, такі, що образи усіх прямокутників $[s_{i},s_{i+1}]\times [t_{j},t_{j+1}]$ (і навіть трішки більших прямокутників, що містять вказані у середині) при відображенні належать кожен якійсь відкритій множині з умови. Нехай $F([s_{i},s_{i+1}]\times [t_{j},t_{j+1}])\to U_{ij}.$ Додатково у $s$-послідовність можна ввести всі точки, що розбивають криві у параметризаціях обох добутків кривих, що розглядаються.

Дані послідовності розбивають квадрат $[0,1]\times [0,1]$ на kl прямокутників виду $R_{ij}=[s_{i},s_{i+1}]\times [t_{j},t_{j+1}]$. Посунемо тепер вертикальні лінії у рядках крім першого і останнього так, щоб кожна вершина прямокутника $R_{ij}$ належала не більше, ніж трьом прямокутникам, як на малюнку і пронумеруємо їх у такий же спосіб. Для кожної кривої $\gamma$ у квадраті $[0,1]\times [0,1]$ із лівої сторону до правої образ $F(\gamma )$ є петлею у $X$ із початком у точці $p.$ Нехай $\gamma _{r}$ позначає ламану лінію, що відділяє перші r від інших. На малюнку виділено лінію $\gamma _{6}$, нижня сторона квадрата є $\gamma _{0}$, а верхня — $\gamma _{kl}.$

Із побудови кожна вершина $x$ прямокутників належить щонайбільше трьом прямокутникам. При відображенні $F$ образи цих прямокутників належать щонайбільше трьом відкритим множинам $U_{ij}.$ Згідно умови перетин цих множин є лінійно зв'язним, тому існує крива $g_{x}$, що з'єднує точку $p$ із $F(x)$ і належить цьому перетину. Долучивши до кожної такої вершини $F(x)\neq p$ петлю $g_{x}\circ {\bar {g}}_{x}$ як у доведенні сюр'єктивності можна одержати петлю гомотопну $F(\gamma _{r})$, що є добутком петель із образами у $U_{\alpha }$. А саме, $\gamma _{r}$ є набором вершин та відрізків, що їх сполучають. Кожному відрізку $d$, що сполучає вершини $x$ і $y$ відповідає петля ${\bar {g}}_{x}\cdot F(d)\cdot g_{y}$ у $X$.

Образ цієї петлі може належати двом різним відкритим підмножинам $U_{\alpha }$ і $U_{\beta }$ і можна розглядати клас гомотопії ${\bar {g}}_{x}\cdot F(d)\cdot g_{y}$ у $U_{\alpha }$ і $U_{\beta }$. Вибравши один із цих варіантів для кожної петлі одержується добуток $F(\gamma _{r})=[f_{1}]\cdot [f_{2}]\cdot \ldots \cdot [f_{N}]$. Різним виборам множин для кожної петлі відповідають еквівалентні добутки. Таким чином для кожної ламаної $\gamma _{r}$ одержуються набори еквівалентних добутків у вільному добутку груп.

Далі можна перейти від деякого із еквівалентних добутків для ламаної $\gamma _{r}$ до еквівалентного добутку для $\gamma _{r+1}.$ Образи всіх сторін прямокутника $R_{r+1}$ при відображенні $F$ належать деякій одній множині $U_{\alpha }$. Цій множині також належать всі криві $g_{x}$ і ${\bar {g}}_{x}$ для усіх вершин прямокутників на границі $R_{r+1}$. Ламані $\gamma _{r}$ і $\gamma _{r+1}$ відрізняються лише частинами на границі $R_{r+1}$. Перша ламана включає ліву і нижню сторони (лише нижню якщо $R_{r+1}$ є першим прямокутником у рядку), а друга верхню і праву (лише верхню, якщо $R_{r+1}$ є останнім прямокутником у рядку). Позначимо $x$ — ліву верхню вершину прямокутника $R_{r+1}$, $y$ — праву нижню, а $z_{1},\ z_{2}$ — відповідно ліву нижню і праву верхню. Також за побудовою на верхній і нижній сторонах прямокутника можуть бути додатково ще одна чи дві вершини інших прямокутників.

Частина у добутку для $\gamma _{r}$, що відповідає відрізкам, які сполучають вершини на лівій і нижній сторонах $R_{r+1}$ має вид $[g_{x}\cdot F(d_{xz_{1}})\cdot {\bar {g}}_{z_{1}}]\cdot [g_{z_{1}}\cdot F(d_{z_{1}\cdot })\cdot {\bar {g}}_{\cdot }]\cdot \ldots \cdot [g_{\cdot }\cdot F(d_{\cdot y})\cdot {\bar {g}}_{y}]$, де $d_{xz_{1}}$ позначає відрізки, що з'єднують відповідні вершини, трикрапка позначає можливі одну чи дві петлі для вершин на нижній стороні прямокутника і їх класи гомотопій, а крапки у нижніх індексах — загальні позначення точок для можливих різних варіантів вершин на нижній стороні прямокутника. Виберемо той добуток із класу еквівалентності де кожна із цих петель належить $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$. Далі за означеннями цей добуток є еквівалентним $[g_{x}\cdot F(d_{xz_{1}})\cdot {\bar {g}}_{z_{1}}\cdot g_{z_{1}}\cdot F(d_{z_{1}\cdot })\cdot {\bar {g}}_{\cdot }\cdot \ldots \cdot g_{\cdot }\cdot F(d_{\cdot y})\cdot {\bar {g}}_{y}]$ у $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$. Цей останній елемент є еквівалентним $[g_{x}\cdot F(d_{xz_{1}y})\cdot {\bar {g}}_{y}]$, де $d_{xz_{1}y}$ позначає ламану із лівої сторони $R_{r+1}$, а потім його нижньої сторони. Оскільки $d_{xz_{1}y}$ є очевидно гомотопною $d_{xz_{2}y}$ у $R_{r+1}$, то $g_{x}\cdot F(d_{xz_{1}y})\cdot {\bar {g}}_{y}$ є гомотопною $g_{x}\cdot F(d_{xz_{2}y})\cdot {\bar {g}}_{y}$ у $U_{\alpha }$. Знову ж розглядаючи вершини на верхній і правій сторонах і діючи обернено до попереднього отримуємо, що $g_{x}\cdot F(d_{xz_{2}y})\cdot {\bar {g}}_{y}$ є гомотопною до замкнутої кривої із приєднаними петлями $g_{z}\circ {\bar {g}}_{z}$ для всіх проміжних вершин на верхній і правій сторонах. Далі цю петлю можна записати як добуток петель і таким чином одержати добуток елементів, що відповідає одному із еквівалентних типових добутків у $\gamma _{r+1}$ для верхньої і правої сторони $R_{r+1}$. Якщо $R_{r+1}$ є першим або останнім прямокутником у рядку, то цей процес треба трохи видозмінити, зокрема замість гомотопії між лівими і нижніми сторонами прямокутника і верхніми і правими із збереженнями початкових і кінцевих вершин потрібні неперервні деформації в одномі випадку нижньої сторони на верхню і праву сторони із рухом лівої вершини вздовж лівої сторони прямокутника, а в іншому випадку лівої і нижньої сторін на верхню із рухом нижньої правої вершини вздовж правої сторони прямокутника.

Таким чином всі добутки, що відповідають $\gamma _{r}$ є еквівалентними добуткам для $\gamma _{r+1}$. Звідси всі добутки для $\gamma _{0}$ є еквівалентними добуткам із $\gamma _{kl}.$

За означенням образ нижньої сторони квадрата $[0,1]\times [0,1]$ при відображенні $F$ є $g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}$ із відповідною параметризацією. Окрім того точки, що відділяють різні $g_{i}$ є серед вершин на нижній стороні. Образ кожної $g_{i}$ належить деякій множині $U_{\alpha }$ і можна додатково вимагати щоб якщо вершина $x$ на нижній стороні належить області визначення $g_{i}$ у параметризації, то відповідна крива $g_{x}$, що з'єднує точку $p$ із $F(x)$ належала не лише відкритим множинам, що відповідають прямокутникам вершинами яких є $x$ але і множині $U_{\alpha }$. Тоді $[g_{i}]$ буде еквівалентним добутку елементів виду $[g_{x}\cdot F(d)\cdot {\bar {g}}_{y}]$ у $\pi _{1}(U_{\alpha },p)$, що відповідають послідовним вершинам у області значень для $g_{i}$ і відрізкам, що їх сполучають. А загалом $[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ є еквівалентним побудованим вище еквівалентним добуткам для $\gamma _{0}$. Також точки, що відділяють різні $h_{i}$ є серед вершин на верхній стороні. Тому аналогічними аргументами із вибором кривих $g_{x}$ для вершин верхньої сторони одержується еквівалентність добутку $[h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]$ із типовим добутком для $\gamma _{kl}.$ Оскільки добутки для $\gamma _{0}$ є еквівалентними добуткам із $\gamma _{kl}$ то і добутки $[g_{1}]\cdot [g_{2}]\cdot \ldots \cdot [g_{n}]$ і $[h_{1}]\cdot [h_{2}]\cdot \ldots \cdot [h_{m}]$ є еквівалентними.

Наслідки

• Якщо перетин $W$ є однозв'язним, то

  $\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),$

тобто фундаментальна група $X$ є ізоморфною вільному добутку фундаментальних груп $U$ і $V$.

• Зокрема,

$\pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),$ для букета $X_{1}\vee X_{2}$ зв'язних і локально однозв'язних просторів $X_{1}$ і $X_{2}$.

• Простір є однозв'язним якщо для нього існує покриття двома однозв'язними відкритими множинами із зв'язним перетином.
  • Наприклад сферу $X=S^{2}$ можна покрити двома дисками $U=S^{2}\backslash \{n\}$ і $V=S^{2}\backslash \{s\}$, де $n$ і $s$ позначають відповідно північний і південний полюси. Перетин $W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\}$ є зв'язною множиною і по теоремі Зейферта — ван Кампена фундаментальна група $W$ також є тривіальною.

Варіації і узагальнення

• Існує узагальнення теореми для фундаментальних групоїдів. Воно дозволяє розглядати випадок коли $W$ не є зв'язаною множиною.
• Послідовність Маєра — Вієторіса — аналогічна теорема для груп гомологій.

Див. також

• Вільний добуток
• Послідовність Маєра — Вієторіса
• Фундаментальна група
• Псевдоколо

Джерела

• В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — Москва : МЦНМО, 2004. — 352 с.
• Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)