Стала Глейшера — Кінкеліна
У математиці стала Глейшера — Кінкеліна або стала Глейшера, зазвичай позначається , є математичною константою, пов'язаною з K-функцією[en] та G-функцією Барнса[en]. Константа з'являється при дослідженні багатьох сум та інтегралів, особливо тих, що включають гамма-функції та дзета-функції.
Константа названа на честь математиків Джеймса Вітбреда Лі Глейшера[en] та Германа Кінкеліна[en].
Її приблизне значення:
- (послідовність A074962 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Стала Глейшера — Кінкеліна може бути подана у вигляді границі:
- ,
де — гіперфакторіал. Ця формула демонструє подібність між сталою і числом , що, можливо, найкраще проілюстровано формулою Стірлінга:
- ,
яка показує, що подібно до того, як число отримується з апроксимації факторіалів, стала також може бути отримана з подібної апроксимації гіперфакторіалів.
Еквівалентне визначення для сталої , що включає G-функцію Барнса[en], задане , де — гамма-функція:
- .
Стала Глейшера — Кінкеліна також з'являється в оцінках похідних дзета-функції Рімана, як-от:
де — стала Ейлера — Маскероні. Остання формула веде безпосередньо до наступного добутку, знайденого Глейшером[en]:
Альтернативна формула добутку, визначена над простими числами, читається як[1]
де позначає -те просте число.
Нижче наведено деякі інтеграли, які включають цю константу:
Представлення ряду для цієї константи випливає з ряду для дзета-функції Рімана, наданого Гельмутом Гассе:
Примітки ред.
- ↑ Van Gorder, Robert A. (2012). Glaisher-Type Products over the Primes. International Journal of Number Theory. 08 (2): 543—550. doi:10.1142/S1793042112500297.
Література ред.
- Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. The Ramanujan Journal. 16 (3): 247—270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435.
- Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. Ramanujan Journal. 16 (3): 247—270. arXiv:math/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435. (Provides a variety of relationships.)
- Weisstein, Eric W. Glaisher–Kinkelin Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.