У математиці K-функція, зазвичай позначається як , — узагальнення функції гіперфакторіала для комплексних чисел подібно до гамма-функції як узагальнення функції факторіала для комплексних чисел.

Означення

ред.

Формально K-функція визначається так

 

Також можна записати її у простішій формі:

 

де  похідні дзета-функції Рімана,  дзета-функція Гурвіца і

 

Інша форма запису через полігамма-функцію[1]:

 

Або, використовуючи узагальнену полігамма-функцію[en][2], можна сказати, що

 

де  стала Глейшера.

Властивості

ред.

Нехай  . Тоді

 

Нехай

 

Диференціюючи цю рівність по  , отримаємо

 

За означенням K-функції можна записати

 

Також

 

Покладемо  . Тоді отримаємо

 

Тепер можна зробити висновок про рівність, наведену вище.

K-функція тісно пов'язана з гамма-функцією та G-функцією Барнса[en]: для натуральних   маємо

 

Можна записати цю рівність більш просто

 

Значення функції при натуральних аргументах:

  ( послідовність A002109 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Література

ред.
  1. Victor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order
  2. Olivier Espinosa Victor Hugo Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115