Слабкий гаусдорфів простір

У топології слабким гаусдорфовим простором називають топологічний простір X для якого для будь-якого компактного гаусдорфового простору K і неперервного відображення f : K → X образ f (K) є замкнутою підмножиною у X.^[1]

Цей тип просторів ввів американський математик Майкл МакКорд у 1969 році ^[2]. Слабкі гаусдорфові простори найчастіше використовуються у алгебричній топології, часто у поєднанні із вимогою компактної породженості.

Властивості ред.

Слабкий гаусдорфів простір є T₁ простором.^[3]^[4]

Одним із еквівалентних означень T₁ простору є те, що всі його одноточкові підмножини є замкнутими. Але одноточкові підмножини простору X можна розглядати як образи неперервних відображень із деякої одноточкової множини (яка буде компактною і гаусдорфовою) у X. Якщо X є слабким гаусдорфовим, то всі ці образи є замкнутими підмножинами і X є простором T₁.

Для слабкого гаусдорфового простору $X$ і гаусдорфового компактного простору $K$ образ $f(K)$ при неперервному відображенні $f:K\to X$ є гаусдорфовим підпростором.

Нехай

x

і

y

є різними точками

f(K)

і позначимо

H_{x}=f^{-1}(\{x\})

і

H_{y}=f^{-1}(\{y\})

;

H_{x}

і

H_{y}

є замкнутими множинами із пустим перетином. Оскільки простір

K

є нормальним, то існують відкриті підмножини

U_{x}

і

U_{y}

у

K

із пустим перетином для яких

H_{x}\subseteq U_{x}

і

H_{y}\subseteq U_{y}

. Нехай тепер

V_{x}=f(K)\setminus f(K\setminus U_{x})

і

V_{y}=f(K)\setminus f(K\setminus U_{y})

. Підпростори

K\setminus U_{x}

і

K\setminus U_{y}

є компактними і гаусдорфовими і їх образи при

f

є замкнутими і тому

V_{x}

і

V_{y}

є відкритими підмножинами

f(K)

для яких

x\in V_{x}

і

y\in V_{y}

. Якщо

z\in V_{x}\cap V_{y}

, нехай

p\in K

точка для якої

f(p)=z

; але тоді

p\in U_{x}\cap U_{y}

, що є неможливим. Тобто перетин

V_{x}

і

V_{y}

є пустим і із довільності вибору точок

x

і

y

випливає, що

f(K)

є гаусдорфовим підпростором.

Нехай $\{X_{i}:i\in I\}$ є сім'єю слабких гаусдорфових просторів. Тоді добуток $X=\prod _{i\in I}X_{i}$ є слабким гаусдорфовим простором.

Нехай

K

є компактним гаусдорфовим простором і

f:K\to X

є неперервним відображенням. Для

i\in I

нехай

\pi _{i}:X\to X_{i}

позначає стандартну проєкцію і

H_{i}=(\pi _{i}\circ f)(K)

. Кожен підпростір

H_{i}

є замкнутим, компактним і гаусдорфовим у

X_{i}

, тож

\prod _{i\in I}H_{i}

є замкнутим, компактним і гаусдорфовим підпростором

X

. Оскільки

f(K)

є компактною підмножиною у

\prod _{i\in I}H_{i}

, то

f(K)

є замкнутою у

\prod _{i\in I}H_{i}

, а тому й у

X

.

Приклади ред.

Кожен гаусдорфів простір є слабким гаусдорфовим.

Справді, для компактного простору якщо K образ f (K) при неперервному відображенні буде компактною підмножиною. Якщо додатково X є гаусдорфовим простором то довільна його компактна підмножина, зокрема і f (K) є замкнутою. Тобто X є слабким гаусдорфовим.

Довільний KC-простір, тобто простір у якому всі компактні підмножини є замкнутими є слабким гаусдорфовим простором. Це випливає з того, що образ довільного компактного простору при неперервному відображенні є компактною множиною, тож якщо відображення здійснюється у KC-простір то цей образ також буде замкнутим. Гаусдорфові простори є прикладом KC-просторів, тож цей приклад узагальнює попередній.
У статті одноточкова компактифікація показано, що одноточкова компактифікація простору раціональних чисел $\mathbb {Q} ^{*}$ є KC-простором але не є гаусдорфовим простором. Тому $\mathbb {Q} ^{*}$ є прикладом слабкого гаусдорфового простору, що не є гаусдорфовим простором.
Добуток $\mathbb {Q} ^{*}\times \mathbb {Q} ^{*}$ одноточкових компактифікацій простору раціональних чисел теж є слабким гаусдорфовим простором. Але він не є KC-простором.

Якщо позначити

\Delta =\{\langle x,x\rangle :x\in \mathbb {Q} ^{*}\}

діагональ простору то

\Delta

є гомеоморфною

\mathbb {Q} ^{*}

і тому компактною. Позначимо точку

P=\langle p,0\rangle \in X

, де p — додаткова точка у компактифікації

\mathbb {Q} ^{*}

і для кожного

\epsilon >0

також

I_{\epsilon }=(-\epsilon ,\epsilon )\cap \mathbb {Q}

. Для кожної компактної підмножини

K

у

\mathbb {Q}

і

\epsilon >0

позначимо

B(K,\epsilon )=(\mathbb {Q} ^{*}\setminus K)\times I_{\epsilon }

і нехай

{\mathcal {B}}

є сім'єю всіх таких

B(K,\epsilon )

. Тоді

{\mathcal {B}}

є локальним базисом у точці

P

. Зафіксуємо

B(K,\epsilon )\in {\mathcal {B}}

. Тоді

I_{\epsilon }\setminus K\neq \varnothing

і можна вибрати

y\in I_{\epsilon }\setminus K

; тоді

\langle y,y\rangle \in \Delta \cap B(K,\epsilon )

і з довільності вибору

B(K,\epsilon )

випливає, що

P

належить замиканню

\Delta

але не

\Delta

. Тобто

\Delta

є компактною але не замкнутою підмножиною.

Посилання ред.

↑ Hoffmann, Rudolf-E. (1979), On weak Hausdorff spaces, Archiv der Mathematik, 32 (5): 487—504, doi:10.1007/BF01238530, MR 0547371.
↑ McCord, M. C. (1969), Classifying spaces and infinite symmetric products, Transactions of the American Mathematical Society, 146: 273—298, doi:10.2307/1995173, JSTOR 1995173, MR 0251719.
↑ J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. (1999) University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (See chapter 5)
↑ Strickland, Neil P. (2009). The category of CGWH spaces (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 3 березня 2016. Процитовано 18 вересня 2020.

Див. також ред.

[1] Hoffmann, Rudolf-E. (1979), On weak Hausdorff spaces, Archiv der Mathematik, 32 (5): 487—504, doi:10.1007/BF01238530, MR 0547371.

[2] McCord, M. C. (1969), Classifying spaces and infinite symmetric products, Transactions of the American Mathematical Society, 146: 273—298, doi:10.2307/1995173, JSTOR 1995173, MR 0251719.

[3] J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. (1999) University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (See chapter 5)

[4] Strickland, Neil P. (2009). The category of CGWH spaces (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 3 березня 2016. Процитовано 18 вересня 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]