Відкрити головне меню

Симпліціальний комплекс

Симпліціальний 3-комплекс.
Приклад множини симплексів, що не є симпліціальним комплексом.

Симпліціальний комплекс — спеціальний топологічний простір, утворений «склеюванням» точок, відрізків, трикутників, тетраедрів і симплексів вищих порядків. Широко використовується в алгебраїчній топології для обчислень, зокрема гомологічних груп.

ОзначенняРедагувати

Нехай   — вершини симплекса у векторному просторі   Позначимо   — симплекс, що є опуклою комбінацією цих точок (натягнутий на точки  ). Також позначимо   — відкритий симплекс з даними вершинами, тобто множина точок барицентричні координати яких більші нуля, тобто   де   і також  

Для позначення відкритого і відповідного замкнутого симплексів також використовуються позначення (s) і [s]. Замкнутою (відкритою) гранню симплекса   називається замкнутий (відкритий) симплекс натягнутий на деяку підмножину точок  

Симпліціальним комплексом називається скінченна множина K відкритих симплексів, що задовольняє умови:

  1. Якщо   то всі відкриті грані замкнутого симплексу [s] теж належать K.
  2. Якщо   і також   то  

Еквівалентно можна визначити симпліціальний комплекс, як скінченну множину K+ замкнутих симплексів, що задовольняє умови:

  1. Якщо   то всі замкнуті грані [s] теж належать K+.
  2. Якщо   то   є гранню обох симплексів  

Множина точок, що належать симплексам із множини K позначається [K] або |K|. Такі множини називаються поліедрами.

Підкомплексом симпліціального комплекса K називається симпліціальний комплекс L, такий що з   випливає  

Розмірністю симпліціального комплекса називається найбільша з розмірностей симплексів, що входять до цього комплекса.

Підрозбиття симліціального комплексаРедагувати

Нехай K — симпліціальний комплекс. Підрозбиттям цього симпліціального комплексу називається комплекс K', що задовольняє умови:

  1. Якщо   тобто множини точок обох поліедрів рівні.
  2. Якщо   то  

Барицентричне підрозбиттяРедагувати

Нехай   — деякий відкритий симплекс, що належить комплексу K. Барицентричним підрозбиттям цього симплекса називається симпліціальний комплекс симплекси якого мають вигляд   де   — барицентр симплекса утвореного точками   а   — усі можливі перестановки точок   Розбивши таким чином усі симплекси комплекса K одержуємо барицентричне підрозбиття усього комплекса K. Дане підрозбиття позначається K(1). Індуктивно можна визначити підрозбиття K(n) для будь-якого цілого числа n.

Значення барицентричного підрозбиття полягає в тому, що воно в деякому сенсі, стає щоразу «дрібнішим». А саме якщо позначити:

 

де:

 

де метрика в даному випадку породжена евклідовою нормою, то виконується властивість:

  де m — розмірність комплекса K.

Зокрема:

 

Симпліціальні відображенняРедагувати

Нехай K і L — два комплекси і v — відображення вершин комплексу K у вершини комплексу L. Це відображення v називається допустимим, якщо з того, що   — вершини деякого симплекса комплексу K, випливає, що   є вершинами деякого симплекса комплексу L; серед вершин   деякі можуть повторюватися. Кожне таке відображення визначає деяке відображення  , лінійне на кожному симплексі з K, тобто якщо   і:

 

тоді

 

Відображення   є неперервним. Його називають симпліціальним відображенням поліедра |К| в |L|, оскільки воно узгоджується з розбиттям поліедрів |К| і |L| на симплекси і афінною структурою цих симплексів.

Симпліціальне наближенняРедагувати

Нехай K — симпліціальний комплекс і v — деяка його вершина. Тоді зіркою у вершині v називається множина:

 

Нехай K, L — симпліціальні комплекси,   — неперервне відображення між відповідними поліедрами. Тоді симпліціальне відображення   називається сипліціальним наближенням f, якщо  

ВластивостіРедагувати

  •   є відкритою множиною у |K| і v є єдиною вершиною комплекса K, що належить  
  • Нехай   є симпліціальним наближенням   і   Тоді   і   належать одному замкнутому симплексу в L.
  • Нехай   — симпліціальне відображення і   його симпліціальне наближення. Тоді  

Теорема про симпліціальне наближенняРедагувати

Нехай   — неперервне відображення. Тоді для довільного   існують підрозбиття Kn для K і Lm для L, що існує симпліціальне наближення   відображення f для якого:

 

де

 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1986,
  • П. Хилтон, С. Уайли Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. – М.: Мир, 1966. – 452 с.
  • Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3

ПосиланняРедагувати