Рівномірна неперервність

Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі — це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.

Графік $f(x)={\frac {1}{x}}$ перетинає горішню і долішню риски обмежувального вікна висота × широта=$2\varepsilon \times 2\delta ,$ якою маленькою не була б $\delta$, отже $f(x)$ не рівномірно неперервна. Тоді як, функція $g(x)={\sqrt {x}}$ рівномірно неперервна.

Означення

Нехай дано два метричні простори $(X,\varrho _{X})$ і $(Y,\varrho _{Y})$. Функція $f\colon X\to Y$ називається рівномірно неперервною на підмножині $M\subset X,$ якщо

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\;\forall x_{1},x_{2}\in M\quad {\bigl (}\varrho _{X}(x_{1},x_{2})<\delta {\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}\varrho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon {\bigr )}$.

Зокрема, дійснозначна функція дійсного змінного $f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ рівномірно неперервна, якщо

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\;\forall x_{1},x_{2}\in M\quad {\bigl (}|x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon {\bigr )}$

Вибір $\delta$ у визначенні рівномірної неперервності залежить від $\varepsilon$, але не від $x_{1},x_{2}.$

Властивості

• Функція, рівномірно неперервна на множині $M,$ неперервна на ній. Зворотне, взагалі кажучи, не справджується. Наприклад, функція

$f(x)={\frac {1}{x}},\;x\in (0,1)$

неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною, оскільки при будь-якому $\varepsilon >0$ можна вказати відрізок скільки завгодно малої довжини такий, що на його кінцях значення функції відрізнятимуться більше, ніж на $\varepsilon .$ Інший приклад: функція

$f(x)=x^{2},\;x\in (-\infty ,+\infty )$

неперервна на всій числовій осі, але не є рівномірно неперервною, оскільки

$\lim _{x\to \infty }(f\left(x+{\frac {a}{x}}\right)-f(x))=\lim _{x\to \infty }(x^{2}+2a+a^{2}x^{-2}-x^{2})=2a.$

Для будь-якого $\varepsilon >0$ можна вибрати відрізок як завгодно малої довжини $\varepsilon /x$ такий, що різниця значень функції $f(x)=x^{2}$ на кінцях відрізка буде більше $\varepsilon .$ Зокрема, на відрізку $\left(x,x+{\frac {\varepsilon }{x}}\right)$ різниця значень функції збігається до $2\varepsilon .$

• (Теорема Кантора — Гейне) Функція, неперервна на компактній підмножині $K\subset X,$ рівномірно неперервна на ній. Зокрема якщо $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},$ то вона рівномірно неперервна на $[a,b].$
• Нехай $f\colon X\to Y$ це рівномірно неперервне відображення, і $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ — послідовність Коші в $X.$ Тоді ${\bigl \{}f(x_{n}){\bigr \}}_{n=1}^{\infty }$ — послідовність Коші в $Y.$
• Будь-яке ліпшицеве відображення є рівномірно неперервним.

Див. також

• Рівностепенева неперервність
• Абсолютна неперервність

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)