Рівномірна неперервність
Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі — це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.
Означення
ред.Нехай дано два метричні простори і . Функція називається рівномірно неперервною на підмножині якщо
- .
Зокрема, дійснозначна функція дійсного змінного рівномірно неперервна, якщо
Вибір у визначенні рівномірної неперервності залежить від , але не від
Властивості
ред.- Функція, рівномірно неперервна на множині неперервна на ній. Зворотне, взагалі кажучи, не справджується. Наприклад, функція
неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною, оскільки при будь-якому можна вказати відрізок скільки завгодно малої довжини такий, що на його кінцях значення функції відрізнятимуться більше, ніж на Інший приклад: функція
неперервна на всій числовій осі, але не є рівномірно неперервною, оскільки
Для будь-якого можна вибрати відрізок як завгодно малої довжини такий, що різниця значень функції на кінцях відрізка буде більше Зокрема, на відрізку різниця значень функції збігається до
- (Теорема Кантора — Гейне) Функція, неперервна на компактній підмножині рівномірно неперервна на ній. Зокрема якщо то вона рівномірно неперервна на
- Нехай це рівномірно неперервне відображення, і — послідовність Коші в Тоді — послідовність Коші в
- Будь-яке ліпшицеве відображення є рівномірно неперервним.
Див. також
ред.Джерела
ред.- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)