Рівнобе́дрений прямоку́тний трику́тник — це особливий випадок рівнобедреного і прямокутного трикутника , у якому внутрішній кут дорівнює 45°:
Рівнобедрений прямокутний трикутник Описане та вписане коло у рівнобедреному прямокутному трикутнику. Відстань між центрами кіл однакова
d
=
r
{\displaystyle d=r\,}
Рівнобедрений прямокутний трикутник і рівнобедрений трикутник з рівними описаним і вписаним колом і однаковій відстані між їх центрами
d
=
r
{\displaystyle d=r\,}
α
=
β
=
45
∘
=
π
4
,
{\displaystyle \alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,}
третій внутрішній кут є прямим :
γ
=
180
∘
−
2
α
=
90
∘
=
π
2
,
{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,}
так що внутрішні кути відносяться як 1 : 1 : 2 .
Бічні сторони трикутника дорівнюють:
a
=
b
=
c
2
2
,
{\displaystyle a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,}
основа дорівнює:
c
=
a
2
,
{\displaystyle c=a{\sqrt {2}}\!\,,}
тому сторони відносяться як 1 : 1 : √2 . Бічні сторони є катетами , основа є гіпотенузою .
Чотири таких трикутники утворюють квадрат , у яких основа така ж, як квадрат площі. Якщо основа дорівнює діагоналі квадрата, то квадрат складається з двох таких трикутників.
Висота , проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині:
v
c
=
a
2
2
=
c
2
=
R
,
{\displaystyle v_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,}
де R — радіус описаного кола .
У евклідовій геометрії трикутники з такими внутрішніми кутами є єдиними можливими трикутниками, які є одночасно прямокутними і рівнобедреними. У сферичній та гіперболічній геометрії існує нескінченно багато форм прямокутного рівнобедреного трикутника .
Периметр рівнобедреного прямокутного трикутника:
P
=
a
+
b
+
c
=
a
(
2
+
2
)
.
{\displaystyle P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,.}
Площа рівнобедреного прямокутного трикутника:
S
=
a
2
2
=
c
2
4
.
{\displaystyle S={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\!\,.}
Площу рівнобедреного прямокутного трикутника можна подати за допомогою формули Герона :
S
=
p
(
p
−
a
)
2
(
p
−
a
2
)
,
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2}})}}\!\,,}
де p — півпериметр рівнобедреного прямокутного трикутника:
p
=
P
2
=
a
(
1
+
2
2
)
.
{\displaystyle p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.}
ред.
ред.
Рівнобедрений прямокутний трикутник, як і всі трикутники, є біцентричним . У ньому:
r
{\displaystyle r\!\,}
R
{\displaystyle R\!\,}
a
{\displaystyle a\!\,}
c
{\displaystyle c\!\,}
R
(
2
−
1
)
=
a
2
(
2
−
2
)
=
c
2
(
2
−
1
)
{\displaystyle R\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)={\frac {c}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\!\,}
r
2
−
1
=
a
2
2
=
c
2
{\displaystyle {\frac {r}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}\!\,}
2
r
2
−
2
=
R
2
=
c
2
2
{\displaystyle {\frac {2r}{2-{\sqrt {2}}}}=R{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}{\sqrt {2}}\!\,}
2
r
2
−
1
=
2
R
=
a
2
{\displaystyle {\frac {2r}{{\sqrt {2}}-1}}=2R=a{\sqrt {2}}\!\,}
Тут r — радіус вписаного кола , R — радіус описаного кола, a — довжина катетів та c — довжина основи рівнобедреного прямокутного трикутника.
Відстань між центрами вписаного та описаного кіл d дорівнює радіусу вписаного кола r і дається рівнянням Ейлера :
d
2
=
R
(
R
−
2
r
)
=
a
2
2
(
3
−
2
2
)
{\displaystyle d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,}
d
=
r
=
a
2
(
2
−
2
)
=
a
1
2
(
3
−
2
2
)
≈
0
,
2928932
a
.
{\displaystyle d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,.}
Рівнобедрений трикутник, що має те саме описане і вписане коло і однакову відстань між їх центрами (
d
=
r
{\displaystyle d=r\,}
α
=
β
=
a
r
c
t
g
4
−
2
2
8
2
−
11
≈
72
,
968751
∘
,
{\displaystyle \alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,}
γ
=
180
∘
−
2
α
≈
34
,
062496
∘
.
{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,.}
Теорема Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника
ред.
Квадрат гіпотенузи дорівнює подвоєнному квадрату катета:
c
2
=
2
a
2
{\displaystyle c^{2}=2a^{2}}
