Розподіл Ломакса
Розподіл Ломакса, іноді його ще умовно називають розподілом Парето II типу, є розподілом ймовірностей з так званим "грубим хвостом", який використовується в бізнесі, економіці, актуарній науці, теорії масового обслуговування та моделюванні інтернет-трафіку[1][2]. Названий на честь К. С. Ломакса. По суті, це розподіл Парето, який був зміщений настільки щоб його носій починався з нуля[3].
Ломакса | |
---|---|
Щільність розподілу ![]() | |
Функція розподілу ймовірностей ![]() | |
Параметри | |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | |
Середнє | ; йнакше невизначена |
Медіана | |
Мода | 0 |
Дисперсія | |
Коефіцієнт асиметрії | |
Коефіцієнт ексцесу |
Характеристика
ред.Функція густина
ред.Функція густини розподілу Ломакса визначається як
з параметром форми і параметром масштабу . Густину можна переписати таким чином, щоб більш чітко показувати зв'язок із розподілом Парето I типу. Тобто:
- .
Нецентральні моменти
ред.The ий нецентральний момент існує лише якщо параметр форми більший за , тоді момент обчислюється за формулою
Пов'язані розподіли
ред.Зв'язок з розподілом Парето
ред.Розподіл Ломакса є розподілом Парето I типу, зміщеним так, що його носій починався з нуля. Зокрема:
Розподіл Ломакса є розподілом Парето типу II з x m =λ і μ=0: [4]
Зв'язок з узагальненим розподілом Парето
ред.Розподіл Ломакса є окремим випадком узагальненого розподілу Парето. Зокрема:
Зв'язок з бета розподілом
ред.Розподіл Ломакса з параметром масштабу λ = 1 є окремим випадком бета-штрих розподілу. Якщо X розподілена за розподілом Ломакса, то .
Зв'язок з розподілом Фішера
ред.Розподіл Ломакса з параметром форми α = 1 і параметром масштабу λ = 1 має густину , такий самий розподіл має розподіл F (2,2). Це розподіл частки двох незалежних і однаково розподілених випадкових величин з експоненційними розподілами.
Зв'язок з q-експоненційним розподілом
ред.Розподіл Ломакса є окремим випадком q-експоненційного розподілу . q-експонента розширює цей розподіл до носія на обмеженому інтервалі. Параметри розподілу Ломакса визначаються наступним чином:
Зв'язок з (лог-) логістичним розподілом
ред.Логарифм розподіленої за Ломаксом змінної Lomax(форма = 1,0, масштаб = λ) розподілений за логістичним розподілом з розташуванням log(λ) і масштабом 1. Тобто, що Lomax(форма = 1, масштаб = λ)-розподіл дорівнює логарифмічно логістичним розподілом з параметром форми β = 1,0 і масштабу α = log(λ).
Зв'язок гамма-експоненціальної (масштабованої) суміші
ред.Розподіл Ломакса виникає як суміш експоненційних розподілів, де розподілом змішування темпу виступає гамма-розподіл. Якщо λ|k,θ ~ Gamma(форма = k, масштаб = θ) і X |λ ~ Exponential(темп= λ), то граничний розподіл X |k,θ є Ломакс розподілом Lomax(форма = k, масштаб = 1/θ ). Оскільки параметр масштабу можна еквівалентно перепараметрувати до параметра масштабу, розподіл Ломакса по суті є сумішшю експоненційного (з параметром експоненціального масштабу, що розподілений за оберненим гамма-розподілом).
Див. також
ред.- Степеневий розподіл
- складний розподіл ймовірностей
- гіперекспоненційний розподіл (кінечна суміш експоненцій)
- нормально-експоненціальний гамма-розподіл (суміш нормального масштабу з розподілом Ломакса)
Посилання
ред.- ↑ Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). 20 Pareto distributions. Continuous univariate distributions. Т. 1 (вид. 2nd). New York: Wiley. с. 573.
- ↑ J. Chen, J., Addie, R. G., Zukerman. M., Neame, T. D. (2015) "Performance Evaluation of a Queue Fed by a Poisson Lomax Burst Process", IEEE Communications Letters, 19, 3, 367-370.
- ↑ Van Hauwermeiren M and Vose D (2009). A Compendium of Distributions [Архівовано 20 січня 2022 у Wayback Machine.] [ebook]. Vose Software, Ghent, Belgium. Available at www.vosesoftware.com.
- ↑ Kleiber, Christian; Kotz, Samuel (2003), Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Wiley Series in Probability and Statistics, т. 470, John Wiley & Sons, с. 60, ISBN 9780471457169, архів оригіналу за 6 лютого 2022, процитовано 6 лютого 2022.