Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. F-тест ).
Розподіл Фішера
Функція розподілу ймовірностей
Параметри
d
1
>
0
,
d
2
>
0
{\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}
Носій функції
x
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0,+\infty )\!}
Розподіл імовірностей
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
I
d
1
x
d
1
x
+
d
2
(
d
1
/
2
,
d
2
/
2
)
{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}
Середнє
d
2
d
2
−
2
{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}
d
2
>
2
{\displaystyle d_{2}>2}
Мода
d
1
−
2
d
1
d
2
d
2
+
2
{\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!}
d
1
>
2
{\displaystyle d_{1}>2}
Дисперсія
2
d
2
2
(
d
1
+
d
2
−
2
)
d
1
(
d
2
−
2
)
2
(
d
2
−
4
)
{\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}
d
2
>
4
{\displaystyle d_{2}>4}
Коефіцієнт асиметрії
(
2
d
1
+
d
2
−
2
)
8
(
d
2
−
4
)
(
d
2
−
6
)
d
1
(
d
1
+
d
2
−
2
)
{\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}
d
2
>
6
{\displaystyle d_{2}>6}
Коефіцієнт ексцесу
див. текст Твірна функція моментів (mgf)
не існує, raw moments defined elsewhere [1] [2] [3] [4] Характеристична функція
див. текст
Визначення
ред.
Нехай
Y
1
,
Y
2
{\displaystyle Y_{1},Y_{2}}
незалежні випадкові величини , що мають розподіл хі-квадрат :
Y
i
∼
χ
2
(
d
i
)
{\displaystyle Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})}
d
i
∈
N
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2}
розподіл випадкової величини
F
=
Y
1
/
d
1
Y
2
/
d
2
{\displaystyle F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}}
називається розподілом Фішера зі ступенями свободи
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
F
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами
d
1
,
d
2
(
F
(
d
1
,
d
2
)
)
{\displaystyle d_{1},d_{2}\ (F(d_{1},d_{2}))}
f
(
x
)
=
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
=
1
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
(
d
1
d
2
)
d
1
2
x
d
1
2
−
1
(
1
+
d
1
d
2
x
)
−
d
1
+
d
2
2
{\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\!}
для дійсного числа
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
d 1 та d 2 цілі додатні числа , а B — Бета-функція .
Властивості розподілу Фішера
ред.
Якщо
F
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
1
F
∼
F
(
d
2
,
d
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})}
Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо
F
d
1
,
d
2
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
F
d
1
,
d
2
→
δ
(
x
−
1
)
{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)}
d
1
,
d
2
→
∞
{\displaystyle d_{1},d_{2}\to \infty }
де
δ
(
x
−
1
)
{\displaystyle \delta (x-1)}
дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи
X
≡
1
{\displaystyle X\equiv 1}
Зв'язок з іншими розподілами
ред.
Якщо
F
d
1
,
d
2
∼
F
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}
d
1
F
d
1
,
d
2
{\displaystyle d_{1}F_{d_{1},d_{2}}}
χ
2
(
d
1
)
{\displaystyle \chi ^{2}(d_{1})}
d
2
→
∞
{\displaystyle d_{2}\to \infty }
Див. також
ред.
↑ Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27) . Wiley. ISBN 0-471-58494-0 ↑ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983). Chapter 26 . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . Applied Mathematics Series. Т. 55 (вид. Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce , National Bureau of Standards ; Dover Publications . с. 946. ISBN 0-486-61272-4 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 6512253-{{{3}}} .↑ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook – F Distribution
↑ Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Introduction to the Theory of Statistics (вид. Third). McGraw-Hill. с. 246—249. ISBN 0-07-042864-6
Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0 
![{\displaystyle \mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b335de762ca25732cc5258f62e0264da8d9bfcb)
![{\displaystyle \mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb80de6195ce04fde06795e2324df6ff7e3cc7f)
