В теорії ймовірностей і математичній статистиці, розподіл Леві — неперервний розподіл ймовірностей для невід'ємної випадкової величини, названий на честь французького математика Поля Леві.

Леві
Levy distribution PDF
Функція розподілу ймовірностей
Levy distribution CDF
Параметри ;
Носій функції
Розподіл імовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана, for
Мода, for
Дисперсія
Коефіцієнт асиметріїundefined
Коефіцієнт ексцесуundefined
Ентропія де Стала Ейлера—Маскероні
Твірна функція моментів (mgf)невизначена
Характеристична функція

Цей розподіл є одним з кількох стійких розподілів, густина імовірності яких може бути записана аналітично. Іншими прикладами є нормальний розподіл і розподіл Коші.

Визначення

ред.

Густина імовірності розподілу Леві на множині   визначається

 

де   — параметр розміщення,   — коефіцієнт масштабування. Функція розподілу ймовірностей:

 

де  доповнююча функція помилок. Параметр   зміщує криву вправо на відстань  , змінюючи носій функції на множину [ ,  ). Як усі стійкі розподіли, розподіл Леві має стандартну форму f(x;0,1) з властивістю:

 

де y визначено як

 

Характеристична функція розподілу Леві визначається формулою:

 

Для  , the nth момент незміщеного розподілу Леві формально визначаються:

 

Проте для всіх значень n > 0 інтеграл у формулі розбігається і моменти для розподілу є невизначеними. Твірна функція моментів формально визначається:

 

і розбігається для   і, відповідно, теж не є визначеною.

Як і всі стійкі розподіли окрім нормального, для розподілу Леві характерний «важкий хвіст». Хвіст функції густини розподілу асимптотично поводиться як степенева функція:

 

Це легко побачити на графіку де функції густини для різних значень c при   показані в логарифмічному масштабі:

 
Функції густини розподілу Леві в лог-лог масштабі.

Пов'язані розподіли

ред.
  • Якщо   тоді  
  • Якщо   тоді   (обернений гамма-розподіл)
  • Розподіл Леві є частковим випадком розподілу Пірсона типу 5.
  • Якщо   (нормальний розподіл) тоді  
  • Якщо   тоді  
  • Якщо   тоді   (Стійкий розподіл)
  • Якщо   тоді   (Масштабований обернений розподіл хі-квадрат)

Див. також

ред.

Посилання

ред.
  • Information on stable distributions. Архів оригіналу за 22 липня 2013. Процитовано July 6 2012. Особливо An introduction to stable distributions, Chapter 1 [Архівовано 17 липня 2011 у Wayback Machine.]