Розподіл Беніні

У імовірності, статистиці, економіці та актуарній науці розподіл Беніні — це неперервний розподіл ймовірності, який є статистичним розподілом розмірів, і який часто застосовується для моделювання доходів, серйозності претензій або втрат в актуарних програмах та інших економічних даних. Його поведінка хвоста спадає швидше, ніж степеневий закон, але повільніше за експоненційний. Цей розподіл був запропонований Родольфо Беніні у 1905 році. Трохи пізніше за оригінальну роботу Беніні, розподіл був незалежно виявлений або описаний кількома авторами.

Benini
Параметри	$\alpha >0$ форма (дійсне) $\beta >0$ форма (дійсне) $\sigma >0$ масштаб (дійсне)
Носій функції	$x>\sigma$
Розподіл імовірностей	$e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta \left[\log {\frac {x}{\sigma }}\right]^{2}}\left({\frac {\alpha }{x}}+{\frac {2\beta \log {\frac {x}{\sigma }}}{x}}\right)$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$1-e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta [\log {\frac {x}{\sigma }}]^{2}}$
Середнє	$\sigma +{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}}H_{-1}\left({\tfrac {-1+\alpha }{\sqrt {2\beta }}}\right)$ де $H_{n}(x)$ - "ймовірнісні поліноми Ерміта"
Медіана	$\sigma \left(e^{\frac {-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta \log {16}}}}{2\beta }}\right)$
Дисперсія	$\left(\sigma ^{2}+{\tfrac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {2\beta }}}H_{-1}\left({\tfrac {-2+\alpha }{\sqrt {2\beta }}}\right)\right)-\mu ^{2}$

Розподіл

Розподіл Беніні $\mathrm {Benini} (\alpha ,\beta ,\sigma )$ це трипараметричний розподіл, що має функцію розподілу

$F(x)=1-\exp\{-\alpha (\log x-\log \sigma )-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}\}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\alpha -\beta \log {\left({\frac {x}{\sigma }}\right)}}$

де $x\geq \sigma$, параметри форми α, β > 0, а σ > 0 - параметр масштабу. Для простоти Беніні аналізував лише двопараметральну модель (з α = 0), де функція розподілу задається

$F(x)=1-\exp\{-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}\}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\beta (\log x-\log \sigma )}.$

Густина двопараметричної моделі Беніні записується

$f(x)={\frac {2\beta }{x}}\exp \left\{-\beta \left[\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right)\right]^{2}\right\}\cdot \log \left({\frac {x}{\sigma }}\right),\qquad x\geq \sigma >0.$

Моделювання

Двопараметричну випадкову змінну Беніні можна бути згенерувати методом перетворення зворотної ймовірності. Для моделі з двома параметрами квантильна функція (обернена до функції розподілу) записується

$F^{-1}(u)=\sigma \exp {\sqrt {-{\frac {1}{\beta }}\log(1-u)}},\quad 0<u<1.$

Пов'язані розподіли

• Якщо $X\sim \mathrm {Benini} (\alpha ,0,\sigma )\,$, то X має розподіл Парето з $x_{\mathrm {m} }=\sigma$
• Якщо $X\sim \mathrm {Benini} (0,{\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}},1),$ тоді $X\sim e^{U}$ де $U\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$

Програмне забезпечення

Густина (двопараметричного) розподілу Беніні, функція розподілу, квантилі і генератор випадкових чисел реалізовано в пакеті VGAM для R, в цьому ж пакеті є можливість знайти параметр форми методом максимальної правдоподібності параметра.

Див. також

• Умовний розподіл
• Спільний розподіл
• Гістограма
• Інтеграл Стілтьєса

Ланки

• Benini Distribution [Архівовано 20 березня 2014 у Wayback Machine.] at Wolfram Mathematica (definition and plots of pdf) (англ.)