Розклад Холецького

Розклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді де — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі.

Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний.

Для матриць з комплексними елементами: якщо — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад

Розклад названий в честь французького математика Андре-Луї Холецького (1875-1918).

АлгоритмРедагувати

Елементи матриці   можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:

 
 , якщо  .

Вираз під коренем завжди додатній, якщо   — дійсна додатновизначена матриця.

Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:

 
 , якщо  .

LDL-розкладРедагувати

Пов'язаним із розкладом Холецького є LDL-розклад:

 

де   — одинична нижня трикутна матриця;  діагональна матриця.

 
 , якщо  .

ЗастосуванняРедагувати

Розклад Холецького може застосовуватись для розв'язку системи лінійних рівнянь   з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні методу найменших квадратів чи числовому розв'язуванні диференціальних рівнянь.

Виконавши розклад  , розв'язок   отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР:   та  . Такий спосіб розв'язку називають методом квадратних коренів. Порівняно з загальнішими методами: метод Гауса чи LU-розклад матриці, він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.