Метод квадратного кореня

Метод квадратного кореня — метод, що застосовується для розв'язку СЛАР з симетричною матрицею коефіцієнтів при змінних.

Цей метод відноситься до категорії точних чисельних методів.

Якщо в системи лінійних алгебраїчних рівнянь $Ax=b$ матриця $A$ є невиродженою ($detA\neq 0$) та симетричною ($A=A^{T}$), то розв'язок можна знайти методом квадратного кореня.

Опис методу

Метод використовується для СЛАР виду:

$${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+{...}+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+{...}+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\{................................}\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+{...}+a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{cases}},$$

де $a_{ij}=a_{ji}(i={\overline {1,n}};j={\overline {1,n}})$.

Процес розв'язання СЛАР складається з двох етапів:

1. Прямий хід, при якому початкова симетрична матриця прирівінюється добутком двох взаємно транспонованих трикутних матриць: $A=U^{T}\cdot {U}$
2. Обернений метод квадратного кореня, при якому відбувається послідовне розв'язання двох трикутних систем:

$${\begin{matrix}U^{T}y=b;\\Ux=y\end{matrix}}$$

Обернений метод квадратного кореня

.

LDL-розклад матриці

Матриця $A$ симетрична, то ми можемо розкласти її на добуток матриць $A=LDL^{T}$, де $\ L$ — одинична нижня трикутна матриця; $\ D$ — діагональна матриця.

Отримаємо систему:

$LDL^{T}\cdot x=b$

Розв'язок $x$ отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР:

$LD\cdot y=b$ та

$L^{T}\cdot x=y$.

Порівняно з загальнішими методами (метод Гауса чи LU-розклад матриці) він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.